2. Движение, при котором эллипсоид касается плоскости одним из его главных сечений.

Рассмотрим двишеппя эллипсоида, при которых одна из его осей, например горизонтальна, а точка касания описывает на поверхности эллипсоида одно из его главных сечений При этом вектор угловой скорости эллипсоида направлен по оси , следовательно, эллипсоид

не вращается вокруг вертикали. Этому движению соответствуют нулевое значение постоянной угол а изменение угла определяется дифференциальными уравнениями с функцией Гамильтона

где вычисляются при

Будем считать, что сечение эллипсоида близко к кругу, и положим , считая, что Введем также безразмерное время

и, оставляя старые обозначения, введем безразмерные импульсы при помощи масштабного коэффициента Тогда функция Гамильтона (5.25) запишется в виде (несущественную постоянную отбрасываем)

При малых значениях приведем гамильтониан (5.26) к переменным действие — угол при помощи производящей функции

Замена переменных задается равенствами

из которых следует, что

Отбросив несущественную постоянную, получим гамильтониан (5.26) в новых переменных в виде

Отсюда следует, что в первом приближении имеем где — произвольные постоянные Из (5.29) видно, что исследуемое движение представляет собой вращение с угловой скоростью вокруг горизонтальной оси на которое накладываются малые колебания с амплитудой порядка .

Невозмущенное движение очевидно, неустойчиво по Ляпунову, так как малое изменение начального значения I приводит к большим отклонениям от ее значения в невозмущенном движении в тот же момент

времени. Исследуем задачу об орбитальной устойчивости, которая в нашем случае означает устойчивость по отношению к возмущениям величин . Положим и разложим функцию Гамильтона (1.41) (в которой и введены безразмерные импульсы и время ) в ряд по степеням При этом величины первого порядка малости, а величина по самому ее смыслу, имеет второй порядок малости. Получим разложение (5.10), в котором слагаемые могут быть представлепы в виде где через обозначена совокупность членов не ниже первого порядка по причем функции содержат переменную в виде синусов и косинусов углов, кратных Вычисления показывают, что

Здесь через обозначена безразмерная величина

Рассмотрим устойчивость в линеаризованной задаче, описываемой функцией Гамильтона Здесь переменные и переменные разделяются. По переменной очевидно, будет устойчивость. Рассмотрим устойчивость по отношению к переменным Соответствующие этим переменным дифференциальные уравнения задаются функцией Гамильтона

Рис. 15

Пусть сначала Тогда и из (5.31) следует, что при выполиентг неравенства

имеет место устойчивость в линейном приближении. При обратном знаке в неравенстве (5.34) будет неустойчивость. На рис. 15 область неустойчивости заштрихована. При эллипсоид будет телом вращения, и исключение циклической координаты приводит к системе с одной степенью свободы с обобщенной координатой 0. Разложение гамильтониана возмущенного движения будет начинаться с квадратичной формы

условие (5.34) будет достаточным условием устойчивости. угол не будет циклической координатой, и при выполнении неравенства (5.34) из-за параметрического резонанса возможна неустойчивость уже в линейном приближении [103]. Найдем параметры из которых при малых рождаются соответствующие области неустойчивости. Переходя в уравнениях возмущенного движения к новой независимой переменной и учтя, что в линейном приближении получаем, что параметрический резонанс возникает в окрестности кривых, задаваемых равенствами

Здесь через обозначена частота колебапий в системе с гамильтонианом описывающим изменение переменпых

Следовательно, при параметрический резонанс возникает вблизи таких параметров , при которых частота колебаний угла нутации кратна угловой скорости вращения эллипсоида вокруг его оси симметрии.

Из (5.35) и (5.36) получаем явное выражение через у. на резонансных кривых:

Верхний знак здесь соответствует положительным а нижний — отрицательным. Для резонансные кривые будут двух типов: либо — любое, а (эллипсоид вырождается в шар), либо Последние кривые начинаются на оси в точках при к монотонно приближаются к своим асимптотам . При резонансные кривые расположены в области . Все они проходят через точку имеют асимптоты На рис. 15 резонапсные кривые (5.37) для показаны штриховыми линиями. Отметим, что при параметрическпй резонанс отсутствует.

Пусть параметры лежат вне достаточно малых окрестностей кривых параметрического резонанса (5.37). Тогда при малых исследуемое движение эллппсонда будет орбитально устойчивым в первом (линейном) приближении. Рассмотрим теперь устойчивость в строгой нелинейной постановке задачи. Согласно [102, 103] для этого необходимо провести нелинейную нормализацию функции Гамильтона

возмущенного движения. В переменных процедура нелинейной нормализации в окрестности исследуемого периодического движения эллипсоида формально выглядит точно так же, как и при нормализации в окрестности положения равновесия, хотя при для нахождения канонического нормализующего преобразования необходимо решать некоторые системы дифференциальных уравнений [102]. Нормальная форма будет различной в зависимости от того, есть или нет резонанс четвертого порядка

Здесь следует считать нечетным числом, так как при приходим к рассмотренному резонансу второго порядка проявляющемуся уже в линейной задаче.

Из кривых (5.38) исходят резонансные поверхности. При на этих поверхностях нормальная форма функции Гамильтона возмущенного движения будет иметь вид

Здесь Коэффициенты нормальной формы непрерывны по , как показывают вычисления, при определяются формулами

Если параметры не лежат на поверхностях резонансов: четвертого порядка, то в нормальной форме (5.39) следует положить

Если при резонансе четвертого порядка выполняется неравенство

то согласно [103] движение устойчиво. А если резонанса четвертого порядка нет, то достаточным условием устойчивости будет выполнимость неравенства [4, 127]

Следовательно, если неравенство (5.41) выполнено, то при достаточно малых будет устойчивость как при наличии резонансов четвертого порядка, так и при их отсутствии. Кривая изображена на рис. 15.

Таким образом, если параметры и не лежат вблизи кривой пли в малой окрестности кривых параметрического

резонанса (5.35), то движение эллипсоида, при котором он касается опорной плоскости одним из своих главных сечений, будет орбптально устойчивым, если указанное сечепие будет достаточно близким к кругу. Вблпзи же кривых (5.35) возможна неустойчивость при сколь угодно малом отличии главного сечэнпя эллипсоида от круга.