§ 3. Основные динамические величины твердого тела

1. Геометрия масс. Рассмотрим твердое тело в некоторой декартовой прямоугольпой системе координат, подвижной неподвижной. Мысленно разобьем тело на бесконечно малые элементы с массой где - плотность данного элемента с координатами х, Масса всего тела может быть вычислена при помощи тройного интеграла

Пусть — центр масс (центр инерции) тела. Его координаты определяются выражениями

В (3.1) и (3.2) интегрирование производится по всему объему тела.

Пусть задана некоторая ось . Через обозначим расстояние от бесконечно малого элемента с массой до этой оси. Моментом инерции тела относительно оси и называется величина определяемая интегралом.

В соответствии с этим определением можно составить следующие выражения для моментов инерции тела относительно осей:

Если известен момент инерции относительно некоторой проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно любой параллельной ей оси может быть получен по формуле

где — масса тела, расстояние между осями.

Из формулы (3.4) следует соотношение между моментами, инерции вокруг двух любых параллельных осей:

где — расстояния от центра масс до этих осей.

Величины вычисляемые по формулам

называются центробежными моментами инерции.

Рассмотрим симметрическую матрицу

Девять элементов этой матрицы образуют симметрический тензор второго ранга. Этот тензор называется тензором инерции тела для точки О.

Пусть система координат получена из системы при помощи поворота вокруг точки О, задаваемого матрицей направляющих косинусов

Согласно правилу преобразования компонент тензора при переходе от одной системы координат к другой [88], выражения для осевых и центробежных моментов инерции, подсчитанных для системы координат будут такими:

Пусть ось и проходит через точку О и образует с осями углы, косинусы которых равпы соответственно. Момент инерции относительно оси и выражается через компоненты тензора инерции и величины согласно формуле

При изменении направления оси и величина изменяется. Это изменение наглядно иллюстрируется следующим геометрическим способом. Отложим от начала координат вдоль оси и отрезок длиной Если исключить тела, имеющие форму бесконечно топкого стержня, то при изменении направления оси и точка Р опишет замкнутую поверхность. Уравнение этой поверхности имеет вид

Поверхность (3.10) является эллипсоидом и называется эллипсоидом инерции тела для точки О. Если эллипсоид инерции тела для точки О известен, то очень просто найти величину момента инерции тела относительно любой оси и, проходящей через точку О. Действительно, если обозначить через Р одну из двух точек, в которых ось и пересекает эллипсоид, то

Плоскости симметрии эллипсоида инерции тела для точки О называются главными плоскостями и главными осями инерции тела для этой точки. В спстеме координат которой направлены вдоль главных осей, тензор инерции будет диагональным и матрица (3.7) принимает вид

Величины А, В, С называются главными моментами инерции. тела для точки О. В системе координат уравнение эллипсоида инерции принимает вид

Эллипсоид пнерцпи для центра масс тела называется центральным эллипсоидом инерции, а соответствующие главные моменты цнерцин — главными центральными моментами инерции тела.

2. Кинетическая энергия. Пусть — неподвижная система координат, а — система координат, жестко связанная с твердым телом. Обозначим через проекции на оси скорости полюса относительно неподвижной системы координат и вектора мгновенной угловой скорости со тела. Пусть — вектор скорости бесконечно малого элемента тела относительно системы а — проекции радиуса-вектора этого элемента на оси Согласно формуле (1.4)

Воспользовавшись этим равенством и произведя интегрирование по всему объему тела, выражение для кинетической энергии тела

можно записать в виде следующей формулы:

где — масса тела, и — осевые и центробежные моменты инерцип тела для точки — координаты центра масс тела в системе

Рассмотрим частные случаи.

1. Если полюс О совпадает с центром масс формула (3.14) принимает вид

Движением тела относительно центра масс называют его движение относительно поступательно движущейся системы координат с началом в центре масс (такая система координат называется кёниговой). Равенство (3.15) выражает теорему Кёнига для кинетической энергии твердого тела: кинетическая энергия тела

равна сумме той кинетической энергии, которую имел бы центр масс, если бы в нем была сосредоточена вся масса тела, и кинетической энергии тела в его движении относительно центра масс.

2. Если полюс совпадает с центром масс, а за жестко связанной с телом системы координат приняты главные центральные оси инерции, где А, В, С — главные центральные моменты инерции тела. В этом случае

3. Пусть движении твердого тела одна из его точек остается неподвижной. Если эту точку принять за полюс О, то и выражение (3.14) для кинетической энергии тела запишется в виде

Если к тому же направлены вдоль главных осей инерции для неподвижной точки — величины главных моментов инерции для этой точки, то кинетическая энергия тела определяется равенством

3. Количество движения. Количеством движения тела называется вектор определяемый равенством

где v — вектор скорости бесконечно малого элемента тела. Воспользовавшись формулой (3.13) и произведя интегрирование, лолучпм такие выражения для проекций вектора количества движения на оси жестко связанной с телом системы координат

Если полюс О совпадает с центром масс то

Отсюда следует, что

т. e. количество движения тела равно тому количеству движения, которое бы имел центр масс, если бы в нем была сосредоточена вся масса тела.

Из формул (3.14) и (3.19) следует, что проекции вектора количества движения на оси равны частным производным от кинетической энергии тела по соответствующим

проекциям скорости точки О на эти оси:

4. Момент количества движения. Моментом количества движения (кинетическим моментом) тела относительно точки О называется вектор К, определяемый равенством

где — радиус-вектор, вектор скорости бесконечно малого элемента тела.

Интегрирование дает следующие выражения для проекций, момента количеств движения на оси системы координат

Отсюда и из (3.14) следуют равенства

т. е. проекции вектора кинетического момента тела на оси. равны частным производным кинетической энергии тела по соответствующим проекциям вектора угловой скорости, на эти оси.

Если точка О неподвижна или совпадает с центром масс тела то формулы (3.22) станут такими:

Последние формулы можно записать более компактно, используя: матрицу тензора инерции тела для точки 0:

Если оси — главные оси инерции тела для точки О. то формулы (3.24) упрощаются:

Отметим без доказательства, что если — векторы кинетических моментов тела относительно двух точек О и — вектор количества движения тела, то связь между задается равенством

Пусть и — скорости бесконечно малого элемента тела: по отношению к неподвижной системе координат и в его движении относительно центра масс, а К и — векторы моментов.

количеств движения тела относительно центра масс, подсчитанные для абсолютного движения (т. е. для скоростей ) и для движепня относительно центра масс (т. е. для скоростей ). Вычисления показывают, что т. е. абсолютный момент количеств движения тела относительно центра масс совпадает с аналогичным относительным моментом количеств движения по отношению к самому центру масс. Это утверждение справедливо не только для твердого тела, но и для произвольной материальной системы.

5. Энергия ускорений. Пусть — вектор ускорения бесконечно малого элемента тела. Энергия ускорений вводится по аналогии с кинетической энергией

Имеет место теорема, аналогичная теореме Кёнига: энергия ускорений тела равна сумме энергии ускорений, которую имел бы центр масс, если бы в нем была сосредоточена вся масса тела, и энергии ускорений тела в его движении относительно центра масс:

где — ускорение центра масс тела, — вектор ускорения бесконечно малого элемента тела в его движении относительно центра масс.

Воспользовавшись формулой (1.5) для ускорений точек твердого тела и произведя интегрирование, получим следующее выражение для энергии ускорений тела [96]:

Здесь — проекции векторов угловой скорости и углового ускорения со на главные центральные оси инерции тела, а величины А, В, С — соответствующие главные центральные моменты инерции тела. Многоточием в формуле (3.28) обозначены слагаемые, не зависящие от