§ 3. Качественный анализ движения тела, близкого к симметричному

Пусть твердое тело не является геометрически и динамически симметричным. Наличие трех циклических координат (применяем обозначения, принятые в § 1 и 2) позволяет свести задачу о движении твердого тела по абсолютно гладкой плоскости к исследованию системы с двумя степенями свободы. Не ограничивая общности, будем считать, что т. е. что центр тяжести тела движется по фиксированной вертикали. Движение тела относительно центра масс будет описываться уравнениями Гамильтона (1.43) с гамильтонианом (1.41). Величина в гамильтониане (1.41) рассматривается как параметр.

Пусть поверхность твердого тела будет выпуклой без заострений и ребер и мало отличается от поверхности вращения с осью врашепия и тело близко к динамически симметричному. Тогда можно принять, что аппликата центра тяжести тела задается формулой

и , где — малый параметр функцию считаем аналитической. Гамильтониан (1.41) приведенной системы с двумя степенями свободы запишется в виде

Невозмущеиное движение (при ) представляет собой движение динамически и геометрически симметричного тела, подробно изученное в § 2. Согласно (2.22), имеем следующее

выраженне для функции Гамнльтоиа По певозмущеиного движения:

1. Переменные действие — угол. Изоэнергетическая невырожденность невозмущенной системы [117, 134].

В дальнейшем будем для определенности считать, что т. е. что исключается возможность существования таких движепнй тела, когда в невозмущенном движении его ось симметрии могла бы пройти через особые положения Случаи аналогичны и в техническом отношении даже более просты для исследования. Изоэнергетические кривые невозмущенной задачи в плоскости принципиально не отличаются от соответствующих кривых в плоскости 0, 0. Исключив из рассмотрения стационарные движения, для которых и движения, асимптотические к стационарным, получим, что изоэнергетические кривые в плоскости будут замкнутыми и на них

Для исследования возмущенного движения при малых, но отличных от нуля значениях удобно вместо переменных ввести канонически сопряженные переменпые являющиеся в невозмущенном движении переменными действие — угол [4, 5, 16]. Переменные действие задаются при помощи равенств

Интегрирование производится по замкнутым кривым

Из (3.3) следует, что

Здесь — это функция из (2.24), в которой надо положить — простые действительные корни уравнения причем в промежутке выполняется неравенство

Дифференцируя обе части равенства (3.4) по и учитывая выражение (2.42) для периода движения по замкнутой кривой на фазовой плоскости, имеем

При получении этого равенства учтено, что корни уравнения , следовательно, подынтегральное выражение в (3.4) обращается в нуль при

Так как то первое из равенств (3.3) разрешимо относительно . В переменных действие — угол функция Гампльтона Но невозмущенного движения зависит только от , а функция Гамильтона возмущенного движения в переменных действие — угол имеет вид

Функция имеет период по угловым переменным Зависимость от параметров задачи, в том числе и от не указана.

Область возможных значений есть область

Функция непрерывна в и аналитична всюду, за исключением прямой и кривых соответствующих сепаратрисным значениям Область аналитичности Но обозначим через А:

Частоты невозмущенного движения

в области будут аналитическими функциями своих аргументов.

Рассмотрим изоэнергетический уровень На нем , следовательно, частоты функции переменной Если отношение частот будет зависеть (т. е. не сводится к постоянной), то изучаемая система изоэнергетически невырожденна.

Проверим условие невырожденности. Для этого рассмотрим тождество Продифференцировав его по получим тождество

Откуда

Дифференцируя интеграл из (3.3) по параметру получаем

Преобразуем это равенство, учитывая (2.18), (2.21) и (3.2). Получим

где — угол, на который повернется тело вокруг оси симметрии за время, равное периоду колебаний угла в рассматриваемом невозмущенном движении (см. рис. 11). Согласно (2.40) П (2.41)

Таким образом, отношение (3.7) частот невозмущенного движения может быть вычислено по формуле

где определяется равенством (3.9).

Покажем, что угол зависит от 1% (т. е. не сводится к постоянной) Для этого исследуем поведение при , т. е. в случае, когда в начальный момент тело быстро закручено вокруг оси симметрии.

Пусть при Для таких начальных данных Уравнение запишется в виде

Угол во время движения тела изменяется между где — ближайщий к корень уравнения (3.11). При больших значениях его можно представить в виде ряда по отрицательным степеням Проведя некоторые выкладки, получим

Через здесь обозначены значения функции и ее производной при Формула (3.12) уточняет соответствующую оценку величины приведенную в [2]. Из нее видно, что при достаточно большой угловой скорости вращения тела вокруг оси симметрии угол нугацин будет сколь угодно близок к начальному зпачению. Этот факт был отмечен еще В. Пюизё [279].

Из (2.42) и (3.12) можно теперь получить разложение периода колебаний угла в ряд по отрицательным степеням величины . Опуская все промежуточные весьма громоздкие

выкладки, приведем окончательный результат:

Отсюда видпо, что с ростом угловой скорости вращения тела вокруг оси сиимметрии период колебаний угла уменьшается, причем если

Используя (3.12) и (3.13), после довольно громоздких вычислений получим следующее выражение для величины , определенной равенством (3.9):

При любых значениях А и С и для любой формы поверхности, ограничивающей тело, выбором произвольного угла всегда можно добиться того, чтобы выражение в квадратных скобках в (3.14) не было равно нулю. Исключение составляет случай

когда выражение в квадратных скобках в (3.14) тождественно равно нулю. Остановимся на этом случае подробнее [134]. Так как то постоянная в правой части равенства (3.15) должна быть равной пулю, т. е. рассматриваемый исключительный случай характеризуется условием

которое выполпимо только в том случае, когда т. е. в случае динамически симметричного шара, центр тяжести которого совпадает с его геометрическим центром. Но задача о движении такого шара относительно центра тяжестп на абсолютно гладкой плоскости (как, впрочем, и любого неоднородного шара, центр тяжести которого лежит в его геометрическом центре) представляет собой интегрируемую задачу Эйлера — Пуансо. Невырожденность этой задачи показана в [3, 79].

Таким образом, не сводится к постоянной. Согласно (3.10), отсюда следует, что отношение частот на уровне зависит от т. е. невозмущенная задача, описываемая гамильтонианом (3.6) при является изоэнергетически невырожденной.

2. Свойства возмущенного движения. Пусть теперь величина отлична от нуля, но достаточно мала, т. е. тело близко к

геометрически и динамически симметричному. Движение описывается каноническими дифферепциальными уравнениями

с функцией Гамильтона (3.6). В невозмущенной системе

Если отношение частот — иррациональное число, то невозмущенное движение будет условно-периодическим с частотами в фазовом пространстве траектории всюду нлотно заполняют инвариантные многообразия, представляющие собой двумерные торы.,

Так как невозмущенная система изоэнергетически невырожденна, то, согласно теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона [3, 85], пири малых в системе с аналитическим гамильтонианом (3.6) большинство инвариантных торов невозмущенной системы не исчезает, а лишь немного деформируется.

Двумерные инвариантные торы делят трехмерный уровень энергии и из сохранения большей части торов следует, что для всех начальных данных значения переменных во время движения всегда будут близки к своим начальным значениям, т. е. при малых возмущениях функции Гамильтона Но движение будет устойчивым относительно переменных

Более точно последнее утверждение означает следующее. Для любого найдется такое, что всех из интервала для возмущенного движения при любых выполняются неравенства

Отсюда следует, что проекция кинетического момента тела на ось при всех будет близка ее начальному значению при При фазовый портрет в плоскости будет мало отличаться от соответствующего фазового портрета невозмущенной задачи в том смысле, что для большинства начальных условий мало изменятся фазовые траектории и, в частно диапазон изменения угла нутации. Мало изменяется также характер и место расположения следов точки касания на опорной плоскости и поверхности тела.

Для теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений в работе [141] получены пеулучшаемые оценки для меры множества разрушающихся торов и деформации сохраняющихся торов. Для возмущения порядка эта оценка имеет порядок . Таким образом, в неравенствах (3.17) величина имеет порядок