7. Тяжелое тело вращения с плоским участком поверхности на сфере.

Пусть поверхность тела не является выпуклой, а имеет плоский участок ортогональный оси симметрии Рассмотрим такие движения тела, при которых его соприкосновение с неподвижной поверхностью происходит в одной из точек .

Уравнения участка поверхности тела в системе координат запишем в виде

Тогда

Выражение (1.37) для кинетической энергии тела Т будет таким:

В соответствии с (1.35) и (3.75) имеем

Дифференциальные уравнения (1.38) принимают вид

Уравнения (3.77) справедливы для движения без скольжения тела вращения, соприкасающегося плоским участком своей поверхности произвольной неподвижной выпуклой опорной поверхностью. Пусть опорная поверхность будет сферой радиуса . В неподвижной системе координат центр сферы, ось направлена вертикально вверх) ее уравнения зададим в виде

Тогда

Уравнения «связей (1.39) и кинематические уравнения (1.36) принимают вид

Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле

Аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте, находим выражения для величин проекций момента силы тяжести относительно точки касания на линии и нормаль к поверхности тела:

Восемь уравнений (3.77), (3.80), (3.81) с учетом равенств (3.83) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающих движение без скольжения тела вращения, обладающего плоским участком поверхности, .по неподвижной сфере в однородном иоле тяжести. Эти уравнения допускают первый интеграл

Укажем два простейших частных решения полученных уравнений движения. Первое из них описывается равенствами

и соответствует такому движению тела, когда оно вращается с произвольной постоянной угловой (скоростью вокруг неподвижной вертикали, проходящей через ось «симметрии тела и центр неподвижной опорной сферы.

Во втором частном решении

а функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это решение отвечает такому движению тела, когда его ось симметрии «перемещается в заданной вертикальной к ости, проходящей через вершину опорной сферы: точка касания описывает сфере часть меридиана, а на плоском участке поверхности тела отрезок прямой. Уравнепию (3.86) удовлетворяет функция и для этого решения тело находится в положении равновесия. когда его ось симметрии расположена вертикали, проходящей через вершину сферы.

Уравнение (3.86) имеет интеграл (интеграл энергии)

Анализ линеаризованного уравнения (3.86) и условия знакоопределенности интеграла (3.87) показывает, что движение устойчиво, если и неустойчиво, если это неравенство выполняется с обратным енаком.

В заключение отметим, что в работах [20, 33] рассмотрена задача о движении без скольжения тела вращения по неподвижной сфере в предположении, что силовое поле обладает потенциалом, зависящим только от координаты эта задача в [20, 33] проинтегрирована в квадратурах.