2. Общий случай движения диска по абсолютно шероховатой плоскости.

Рассмотрим процедуру решения задачи о движении без скольжения диска по плоскости в общем случае, когда . Дифференцируя второе уравнение по и исключая получающегося результата величины при помощи равенств (4.14), получаем для проекции угловой скорости дифференциальное уравнение второго порядка

Введя в это уравнение вместо угла новую независимую переменную определяемую равенством [31, 215, 262]

окончательно получим

Мы пришли к липешюму дифференциальному уравнению второго порядка, представляющему собой гтшергеометрическое уравнение Гаусса [180]. Таким образом, рассматриваемая задача о движении диска интегрируется при помощи гипергеометрическпх функции. Это пока единственный случай титегрпруемости задачи о движении без скольжения тяжелого тела с острым краем, хотя бы и весьма частного вида (круга), с по одной вполне определенной поверхности (горизонтальной плоскости). Интегрируемость задачи о движепии диска в гииергеометрпческих функциях установлена независимо С. А. Чаплыгиным [202], П. Аппелем и Д. Кортевегом [2. 215, 262].

Если обозначить через

пшергеомегрпческпй ряд Гаусса

то уравнение

допускает [172] следующие частные решения:

Для уравнения (4.23)

и, следовательно, его общее решение запишется так:

где — произвольные постоянные, а — корни квадратного уравнеппя

Для бесконечно тонкого однородного диска величины будут комплексно сопряженным числами.

Ряд (4.24) сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, лежащем внутри интервала —

Возвращаясь от х к старой независимой переменной 0, получаем функцию в впде

Учитывая, что

находим функцию из (4.25) и второго уравнения системы (4.14):

Используя кинематические уравнения (4.3), получаем теперь величины как функции утла 6:

Имея выражения (4.25) и (4.26) для функций можию определить время при помощи квадратур. Для этой цели заметим, что из первого кинематического уравнения (4.3) и интеграла энергии (4.7) можно на основании выражений (4.25) и (4.26) получить величину 0 как функцию угла

где

Так как мы ограничиваемся рассмотрением одной фазы движения, в которой величина не обращается в нуль, то в последнем выражении перед корнем вполне определенный знак. Выбран знак плюс, что отвечает фазе движения, в которой угол возрастает.

Из (4.29) получаем

где — начальные значения

Равенство (4.30) определяет неявную зависимость угла от времени. При известной функции зависимости углов от времени определяются из (4.27) и (4.28) посредством квадратур.

Для завершения задачи осталось найти траекторию, вычерчиваемую на опорной плоскости точкой касания М тела плоскости. а также определить закон движения точки М по этой траектории. При известных функциях это можно сделать на основании условии отсутствия скольжения (4.2) при помощи квадратур.

Качественный анализ характера следа точки касания на опорной плоскости проведен в статьях [83, 192]. В частности, покапано, что при почти всех тачальных условиях след лежит в ограничений части плоскости, а диск никогда не упадет на плоскость,

В статьях [211, 299] рассмотрено несколько задач о движении без скольжения тела с острым краем по произвольной выпуклой поверхности, но при весьма специфических предположениях о силовом иоле, в котором происходит движение. В статье [299] рассмотрена «задача о движении диска по произвольной поверхности под действием заданных сил. В частности, рассмотрена задача о движении диска по сфере под действием сил, приводящихся к равнодействующей, проходящей через центры диска и опорной сферы и зависящей только от расстояния между этими центрами: показано, что в этом случае задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка и квадратурам; когда радиус опорной сферы стремится к бесконечности, эта задача в пределе переходит в рассмотренную выше задачу о движении диска по горизонтальной плоскости в однородпом поле тяжести. В [299] указаны также (некоторые частные решения задачи о движении без скольжения диска но произвольной поверхности в частности, по поверхпости трехосного эллипсоида) иод действием силы, приложенной в центре диска и во все время движения лежащей в плоскости диска. Дальнейшее развитие эта часть работы [299] получила в статье [211], где движущееся тело не обязательно является диском, а может быть произвольным телом с острым краем; в «качестве примера рассмотрено движение тела с острым краем в форме логарифмической спирали по поверхности вращения.

В статье [209] рассмотрено движение произвольного тяжелого твердого тела с острым краем (не обязательно являющегося диском) на неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости; найдепо семейство перманентных вращений тела вокруг вертикали получено необходимое и достаточное условие их устойчивости.