4. Качественное исследование движения эллипсоида, близкого к шару.

Пусть однородный эллипсоид движется по абсолютно гладкой плоскости. Будем считать, что эллипсоид мало отличается от шара радиуса . В системе координат которой направлены по главным осям эллипсоида, уравнепие его поверхности имеет вид (5.1). Положим

и исследуем общие свойства движения эллипсоида при малых значениях .

Без ограничения общности будем счптать, что проекция центра тяжести эллипсоида на опорную горизонтальную плоскость неподвижна, т. е. центр тяжестп тела движется по заданной вертикали. Для исследования движения эллипсоида будем применять методы теории возмущений гамильтоновых систем. В качестве канонически сопряженных переменных примем переменные, которые применял М. Андуайе при исследовании задач

небесной механики [212]. На рис. — система координат с началом в центре тяжести эллипсоида и осями, параллельными соответствующим осям неподвижпой системы координат (рис. 6); К — вектор кинетического момента эллипсоида относительно центра тяжести, — плоскость, перпендикулярная К; она пересекает плоскость по прямой а плоскость — по прямой Канонически сопряженными переменными будут величины Смысл угловых переменных ясен из рис. 16, а соответствующие им импульсы, как нетрудно видеть, таковы:

Рис. 16

Импульс — это длина вектора кинетического момента, — его проекции на ось эллипсоида на вертикаль соответственно; величина как не раз отмечалось выше, будет постоянной во все время движения.

Кинематические уравнения Эйлера (уравнения (1.9) гл. 1) в рассматриваемых канонически сопряженных переменных запишутся в виде [6]

Выразим функцию Гамильтона задачи

где — вычисляемое по формуле (5.4) расстояние от центра тяжести эллипсоида до плоскости, через канонические переменные Кинетическая энергия вращения эллипсоида вокруг центра тяжести (функция Гамильтона задачи Эйлера — Пуансо) представится равенством

Выражение через канонические переменные довольно громоздко; его явная запись далее не потребуется. Нужные в дальнейшем величины запишутся [6] в виде следующих выражений:

где

С учетом (5.6) выражеппе (5.61) можно представить в впде

где многоточие обозначает совокупность членов выше первого порядка малости отиосительпо е.

Учитывая тождество « и отбрасывая несущественную аддитивпую постоянную, получаем с учетом (5.4) следующее выражение для потенциальпой энергии

Далее заметим, что где величипы вычисляются по формулам (5.5). Отсюда следует, что будет величиной второго порядка малости относительно и с погрешностью порядка функция Гамильтоиа (5.60) запишется в впде

где задаются соотношениям (5.62).

При движепие эллипсоида относительно центра тяжести описывается функцией Гамильтона и представляет собой равномерпое вращение вокруг неизменного по величине и направлению вектора кинетического момента К с угловой скоростью Принимая это движение за невозмущенное, исследуем возмущенное (при движение эллипсоида методом усреднения [126, 128].

В системе канонических дифференциальных уравнений с гамильтонианом (5.66) переменные медленные, а переменная быстрая. Для получения решения в первом приближении надо усреднить функцию Гамильтоиа (5.66) по переменной и отбросить члепы второго и более высоких порядков малости отиосительпо е. Проведя необходимые вычисления, получим, что в первом приближении движение описывается системой дифференциальных уравнений с функцией Гамильтоиа

где

а величина определяется из (5.63).

Из (5.64) и (5.67) видио, что переменные в первом приближении измепяются со временем так же, как в движении Эйлера — Пуансо, если в последнем роль времени играет величина

В первом приближении вектор кинетического момента постоянен по величине и медленно прецессирует вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью оставаясь от нее на постоянном угловом расстоянии Проекция вектора кипетического момента на ось эллипсоида медленно (со скоростью ) изменяется со временем, что приводит к медленному изменению угла между осью эллипсоида и вектором кинетического момента; эллипсоид быстро вращается вокруг вектора кинетического момента с медленно меняющейся угловой скоростью а вокруг своей оси — с малой, тоже изменяющейся со временем угловой скоростью

На интервале времени порядка медленные переменные определяются первым приближением с ошибкой порядка а быстрая переменная — с ошибкой порядка единицы.

При частном выборе начальных данпых, для которых величина обращается в нуль, помимо постоянны в первом приближении также и величины . Согласно (5.59) отсюда следует, что тогда вектор мгновенпой угловой скорости постоянен относительно движущегося эллипсоида (а следовательно, и относительно абсолютного пространства).

Более содержательные результаты можно получить, если в качестве невозмущенпого движения принять не движение однородного шара, а более сложное движение, описываемое функцией Гамильтона (5.66), усредненной по быстрой и медленной переменным и I. Произведя это двойное усреднение, можно функцию Гамильтона (5.66) представить в виде

где

Функция в (5.68) имеет первый порядок малости по , а ее среднее значение по равно нулю; многоточием обозначены члены выше первого порядка малости.

За невозмущенное движение эллипсоида примем его движение, описываемое функцией Гамильтона . В невозмущеном движении

Величины и в невозмущенном движении постоянны. Учитывая еще неизменность величины получаем из (5.63), что в невозмущепном движении углы также постоянны.

Таким образом, в певозмущенном движении с гамильтониан ном постоянный по длине вектор кинетического момента К эллипсоида прецессирует с постояпиой угловой скоростью вокруг вертикали, находясь от на постоянном угловом расстоянии Сам же эллипсоид совершает регулярную прецессию вокруг вектора К; он вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси которая находится на постоянпом угловом расстоянии от вектора кинетического момента и вращается вокруг вектора с постоянной угловой скоростью

Следуя работе [217], покажем устойчивость описанного невозмущенного движения эллипсоида по отношению к переменным при малых возмущениях функции Гамильтона Для этого, согласно [217], надо убедиться в изоэиергетпческон невырожденности задачи, т. е. надо показать, что определитель третьего порядка

отличен от нуля. Вычисления показывают, что с погрешностью порядка

Так как для невозмущенного движения (движения, описываемого функцией Гамильтона ) величины приняты отличными от нуля, то определитель отличен от нуля, если длина полуосей эллипсоида удовлетворяют неравенству

Рис. 17

Тем самым, согласно [217], для достаточно малого отличия эллипсоида от шара при выполнении условия (5.70) доказано, что величины и сколь Угодно мало изменяются на бесконечном интервале времени. Это значит, что длина вектора кинетического момента К и угол который он составляет с вертикалью, при всех остаются вблизи их начальных значений. Всегда остается вблизи своего начального значения угол

между вектором кинетического момента и осью эллипсоида (рис. 17).

Частоты тоже будут вечно близки к их начальным значениям. Соответствующие же им углы не будут, вообще говоря, близки их зпачениям в невозмущенном движении, вычисленным для одних и тех же моментов времени.

Следует подчеркнуть, что исследование в данной работе проведено в предположении, что эллипсоид все время находится в соприкосновении с плоскостью, по которой он движется. Для заданной начальной угловой скорости при достаточно малом отличии эллипсопда от шара это предположение выполняется, так как из уравнений (1.6) и того, что величина сколь угодно мала при достаточно малых следует, что нормальная реакция плоскости всегда положительна (и близка к весу эллипсоида). Последнее означает, что эллипсоид во все время движения не подскакивает над плоскостью, а движется, касаясь ее.