7. Устойчивость периодических движений.

Исследуем устойчивость найденных периодических движений эллипсоида. Величина у в силу ее монотонного возрастания с ростом может быть принята за независимую переменную. Устойчивость исследуем по отношению к возмущениям переменных Наличие устойчивости означает, что при малых начальных отклонениях величин от значений в невозмущенном движении, задаваемом формулами (8.31) и (8.32), мало изменяются след точки касания на поверхности эллипсоида, величина вектора мгновенной угловой скорости и его ориентация относительно эллипсоида (и, следовательно, относительно абсолютного пространства)

Устойчивость исследуем в первом приближении. Обозначая через возмущения величин соответственно линеаризуя уравнения (8.17) и (8.21), получаем

где элементы матрицы имеют первый порядок малости по являются -периодпческими по у и содержат величины как параметры.

Представим фундаментальную матрицу нормированную условием где Е — единичная матрица, в виде ряда

где Из (8.50) и (8.51) получаем

При характеристические показатели, очевидно, равны нулю. Поэтому для системы (8.50) характеристические показатели могут быть вычислены как собственные значения матрицы

Следовательно, задача об устойчивости в первом приближении

приведена к последованию устойчивости системы (8.50) с усредненной по у матрицей Вычисления показывают, что усредненная система (8.50) будет такой:

где отброшены члены выше первого порядка относительно е. Функция не обращается в нуль согласно условию существования исследуемого семейства периодических движений.

Характеристическое уравнение системы (8.52) таково:

При этого уравнения есть корень с положительной вещественной частью, а при оно имеет пару чпсто мнимых и пару нулевых корней, которым, очевидно, соответствуют простые элементарные делители.

Следовательно, при достаточно малом отличии эллипсоида от шара справедливо следующее утверждение: если в порождающем движении вращение эллипсоида происходит вокруг оси, параллельной его средней по величине полуоси, то исследуемое периодическое движение неустойчиво; если же вращение происходит вокруг оси, параллельной наибольшей пли наименьшей полуоси эллипсоида, то (при пренебрежении в (8.50) членами второго и более высокого порядков относительно ) имеет место устойчивость в первом приближении.