2. Устойчивость перманентных вращений

Согласно теоремам Гауса — Ляпунова и Кельвина — Четаева [66, 70], для получения достаточных условий устойчивости стационарного движения (4.1) надо исследовать характер критической точки приведенного потенциала При этом потребуются производные координат точки касания М тела с опорной плоскостью по переменным 0 и Для вычисления этих производных воспользуемся следующими соображениями [70]. Пусть — значения координат точки касания, отвечающие каким-либо произвольным значениям Представим уравнение поверхности тела в окрестности ее точки с точностью до членов второй степени относительно Тогда из системы (1.1), (1.4) можно будет получить выражения величин — через разности с точностью до членов первой степени. Соответствующие коэффициенты при и будут искомыми производными функций по 0 и

Рис. 13

Приводимая ниже процедура вычислений лишь незначительными деталями отличается от соответствующих вычислении работы [70]. Помимо введенной в § 1 системы координат введем еще две вспомогательные системы координат с началом в точке касания М тела и плоскости (рис. 13). Оси системы координат параллельны соответствующим осям системы коордипат Направления осей системы координат совпадают с направлениями линий: кривизны поверхности тела в точке причем радиус кривизны отвечает оси — оси ось направлена вертикально вверх и, следовательно, совпадает с осью Угол между осями отсчитываемый от оси обозначим через а. Ясно, что величины а зависят, вообще говоря, только от 0 и так как поворот тела вокруг вертикали на любой угол не изменяет их значений.

Выпишем формулы перехода между введенными системами координат. Используя выражения (1.29) для элементов матрицы перехода от системы координат к системе получаем такие значения координат точки касания М тела

плоскости в системе

Далее, ввиду параллельности соответствующих осей систем координат справедливы равенства

где суть величины из (4.11), вычисленные при

И наконец, при помощи рис. 13 получаем следующие соотношения:

Уравнение поверхности тела в окрестности точки касания с плоскостью до величин второго порядка малости включительно относительно величин имеет вид

Используя формулы перехода (4.11) — (4.13), его можно записать в спстеме координат (оси которой направлены по главным центральным осям инерцип тела). Проделав несложные вычисления, получим уравнение поверхности тела с точностью до вторых степеней величин — в виде

где введены обозначения

Из (1-4) имеем уравнения

Разлагая входящие сюда тригонометрические функции углов в ряды с точностью до первых степеней и

включительно и пользуясь выражением (4.15) для функции приходим к уравнениям

Разрешив эти уравнения относительно получим

Используя (4.20), из (4.15) получаем величину — с точностью до первых степеней величин в таком виде:

Из (4.20) и (4.21) следуют искомые выражения для производных величин по переменным

Отсюда, в частности, вытекают два соотношения вида

где штрих обозначает дифференцирование по 0 пли по

Введем возмущения положив Использовав соотношения (1.21), (1.24), (1.25), (1.30), (4.5), (4.7) и (4.22), можно получить квадратичную часть приведенного потенциала в виде

где

Через обозначена высота центра тяжести тела над опорной плоскостью в невозмущенном движении.

Согласно теореме Рауса — Ляпунова невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову относительно если выполняются условия

Если неравенство (4.27) выполняется с обратным знаком, то, согласно теореме Кельвина — Четаева, имеет место неустойчивость.

При выполнении неравенства (4.27) и строгом нарушении неравенства (4.26) оба собственных числа квадратной матрицы, образованной элементами будут отрицательными и теоремы Рауса — Ляпунова и Кельвина — Четаева не дают возможность получить достаточные условия устойчивости пли неустойчивости. В этом случае ограничимся получением необходимых условий устойчивости на основе исследования характеристического уравнения линеаризованных уравнений возмущенного движения. Опираясь на соотношения (1.21), (1.24), (1.23), (1.30), (4.5), (4.7), (4.22) и используя равенство получим линеаризованные уравнения (1.38) в виде

где определены равенствами (4.25), а

Если выполняется условие

то характеристическое уравнение системы (4.28) имеет корень с положительной вещественной частью и согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению [101] невозмущенное движение неустойчиво. Если же неравенство (4.29) выполняется с обратным знаком, то характеристическое уравнение

имеет две пары чисто мнимых корней. В этом последнем случае необходимо дальнейшее исследование, опирающееся на теорию устойчивости движения в системах Гамильтона [4, 103, 127, 176—179]. В следующем параграфе эта теория будет применена для исследования устойчивости движения однородного эллипсоида.

Отметим два важных частных случая. В первом из них Этот случай отвечает положению равновесия тела. Из (4.10) следует, что в положении равновесия центр тяжести и точка касания поверхности тела и опорной плоскости лежат на одной вертикали.

Для исследования устойчивости положения равновесия тела воспользуемся теоремой Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы и результатами Ляпунова, лолучениымн в его работе [98], посвященной проблеме обращения теоремы Лагранжа.

Квадратичная часть разложения потенциальной энергии в ряд в окрестности положения имеет вид

Если сделать замену переменных

то примет вид

Отсюда видно, что если то потенциальная энергия П в положении равновесия имеет строгий локальный минимум и по теореме Лагранжа это положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одно из последних неравенств выполняется с обратным знаком, то функция П в положении равновесия не имеет минимума, и это узнается уже по членам второго порядка ее разложения в ряд; согласно [98] в этом случае имеет место неустойчивость.

Таким образом, установлено, что положение равновесия тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости устойчиво, если центр тяжестп тела лежит ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью, неустойчиво, если центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривизны.

Второй важный частный случай отвечает такой ситуации, когда одна из гдавпых центральных осей инерцпп тела, например ось в одном из двух противоположных направлений (или в обоих) пересекает поверхность тела но нормали к ней. Тогда для значений углов отвечающих точке пересечения

(например, ), имеют место равенства

и уравнения (4.6) (или, что то же самое, уравнения (4.7)) удовлетворяются при любых значениях . Следовательно, в этом; случае тело может совершать перманентное вращение с произвольной по величине угловой скоростью вокруг вертикально расположенной главной оси инерции (в нашем случае вокруг Из (1.30), (4.25) -(4.27) следуют такие достаточные условия устойчивости этого перманентного вращения:

Эти условия получены в статье [161] при исследовании устойчивости стационарного движения гиростата.