6. Частные решения усредненных уравнений движения.
Укажем некоторые простейшие частные решения усредненной системы (5.27) — (5.34). Рассмотрим сначала решение, в котором 
Оно соответствует такому движению эллипсоида, когда с погрешностью порядка 
можно считать, что его центр тяжести лежит в плоскости, перпендикулярной со и проходящей через точку касания эллипсоида и плоскости.
При 
уравнение (5.32) тождественно удовлетворяется, а из (5.27), (5.30), (5.31) следует, что, как 
в случае движения со скольжением шара по плоскости с сухим трением,
и проекция центра тяжести на плоскость движется по прямой или параболе в зависимости от начальных условий. Уравнения (5.28), (5.29) при 
запишутся так:
Из (5.34), (5.50) и (5.51) получаем, что изменение величин 
со временем описывается равенствами (5.45), 
Ориентация вектора мгновенной угловой скорости в неподвижной системе координат 
определяется равенствами
Величины 
известной зависимости 
найдутся
из равенств (5.37) и уравнений (5.38), которые при 
введением независимой переменной
приводятся к интегрируемой в эллиптических функциях системе уравнений в задаче Эйлера — Пуансо.
Нетрудно проверить, что усредненная система уравнений допускает решение, для которого 
а величины 
удовлетворяют системе уравнений (5.27), (5.29) — (5.34), в которой величину 
надо заменить на константу 
Это частное решение соответствует такому движению, при котором вектор со во все время движения остается параллельным одной из осей эллипсоида. Если полуоси эллипсоида связаны соотношением а 
то 
проекция центра тяжести на плоскость движется по прямой или параболе, а величины 
, со изменяются со временем так же, как и в предыдущем частном случае, когда 
Укажем еще на одно интересное частное решение усредненной системы, которое соответствует движению эллипсоида с постояпным вектором угловой скорости со. Получим это частное решение, а также условия его существования.
Из (5.28) — (5.34) получаем, что упомянутое решение имеет следующее аналитическое выражение:
Проекция центра тяжести на плоскость движется по прямой пли параболе. Постоянные 
в (5.53) связаны соотношением, обращающим в нуль выражение в квадратных скобках в
Требуя положительности правой части (5.54) и учитывая, что 
получаем ограничения сверху на величину угловой скорости 
и коэффициент трения 
Неравенства (5.55) и будут условиями существования движения с постоянным вектором со. Отметим, что в случае шара при 
движения со скольжением при постоянном со не существует.
