4. Кривая, описываемая точкой касания на плоскости.

Пусть х, у — координаты точки М на опорной плоскости, угол между касательной к ее следу на плоскости и осью неподвижной системы координат (пли, что то же самое в силу отсутствия скольженпя, — угол между касательной к следу на эллипсоиде в точке М и осью Тогда

где элемент длины дуги следа на плоскости (или на эллипсоиде)

Пусть и — векторы скорости и ускорения точки М при ее перемещении вдоль следа на эллипсоиде, — вектор, проведенный из точки М в центр кривизны следа, к — кривизна следа в точке М. Тогда

Для нахождения угла 6 заметим [31], что

где — угловая скорость верчения эллипсоида,

а — геодезическая кривизна следа в точке М. Согласно [157], Здесь и в (8.39) — единичный вектор направленной вертикально вверх оси неподвижной системы координат

Поскольку для изучаемых периодических движений получены уравнения движения точки М по поверхности эллипсоида (формулы (8.33), (8.7)) и вычислены компоненты вектора со (формулы (8.31)), то правая часть уравнения (8.38) может быть представлена как функция угла Если принять у за независимую переменную, то уравнение (8.38), как показывают выкладки, запишется в виде

Замечая, что отличается от на величины первого порядка малости, и полагая начальное значение равным нулю, найдем из (8.40)

Оставляя в правых частях уравнений (8.36) члены не выше первого порядка малости, получаем уравнения, решение которых с точностью до членов первого порядка малостп включительно будет таким:

где х, у — произвольные постоянные. Равенства (8.42) задают в параметрической форме след точки касания М на опорной плоскости. Рассмотрим простейшие частные случаи.

Если (эллипсоид вращения, ), то следом будет дуга окружности радиуса с центром в точке х, у (при , т. е. когда эллипсоид катится, касаясь плоскости своим главным сечением, следом точки касания на плоскости будет прямая). В случае шара как и следовало ожидать, окружность вырождается в прямую. Направление движения точки М по окружности определяется знаком величины Например, если (как на рис. 36), то при (вытянутый эллипсоид) движение точки касания по окружности ее следа на плоскости происходит против часовой стрелки, а при (сплюснутый эллипсоид) — по часовой стрелке.

Пусть . Это возможно либо когда полуоси эллипсоида связаны соотношением либо когда т. е. когда эллипсоид невесом. Последний случай не является математической абстракцией, так как к нему, например, приводится в рассматриваемом приближении случай, когда о будет величиной не ниже первого порядка малости. Последнее означает, что потенциальная энергия эллипсоида много меньше кинетической энергии его вращения относительно центра масс. При получим

т. е. следом точки касания на плоскости будет синусоида. Для невесомого эллипсоида вращения, близкого к шару, этот результат получен в [31].

В общем случае, когда , следом на плоскости будет дуга «испорченной» окружности радиуса На окружность наложены колебания с малой, медленно меняющейся амплитудой . В искаженном масштабе след точки касания на плоскости показан на рис. 37.

Рис. 37