2. Стационарные движения и их устойчивость.

Уравнения двнженпя допускают частные решения, для которых

В движении, отвечающем этим решениям, тело вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью и вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести тела, с постоянной угловой скоростью при этом центр тяжести тела движется с постоянной скоростью, равной вдоль неподвижной прямой, параллельной опорной плоскости, и, следовательно, остается на постоянном от нее расстоянии Не ограничивая общпости, можно прпиять, что центр тяжести тела неподвижен Тогда рассматриваемые движения будут регулярными прецессиями. Регулярные прецессии тяжелого твердого тела выпуклой формы на абсолютно гладкой плоскости изучались в работах [2, 34, 37, 66, 70, 77, 91, 94, 117, 134, 161, 261]. Наше изложение следует в основном работам [66, 70, 77, 117].

В случае регулярной прецессии точка М касания тела с опорной плоскостью описывает на последней окружность с центром в точке являющейся проекцией центра тяжести на эту плоскость, и радиусом . На поверхности тела точка М также описывает окружность с центром на оси симметрии тела в точке с координатой и радиусом При этом, если то скорость точки поверхности тела, которой оно касается опорной плоскости, отлична от нуля и происходит движение со скольжением. В случае, когда тело касается плоскости одной фиксированной точкой своей поверхности и имеет место чистое скольжение тела.

При фиксированных значениях константы интеграла энергии (2.25) регулярная прецессия возможна только тогда, когда будет кратным корнем уравнения т. е. если удовлетворяет системе

При любой функции можно получить регулярную прецессию с произвольным заданным значением угла нутации если соответствующим образом выбрать постоянные Действительно, второе из уравнений (2.27)

дает следующие выражения для величины

Так как то соответствующим выбором подкоренное выражение в (2.29) можно сделать положительным и тем самым удовлетворить второму из уравнений (2.27). Первое же уравнений (2.27) естественным образом удовлетворяется, «если положить

При помощи соотношений (2.18) уравнение (2.28), определяющее многообразие регулярных прецессии тяжелого твердого тела на абсолютной гладкой горизонтальной плоскости, может быть записано в виде

Последнее равенство представляет собой хорошо известное [95] условие существования регулярной прецессии под действием момента который является моментом нормальной реакции опорной плоскости относительно центра тяжести (так как центр тяжести неподвижен, то

Ввиду того что величины произвольны, величины со и также можно выбирать произвольными; угол будет тогда определяться из (2.30). Если соотношение (2.30) рассмотреть как квадратное уравнение относительно то из условия вещественности тсорией этого уравнения получим условие существования регулярных прецессий в виде неравенства

Для исследования устойчивости регулярных прецессий воспользуемся теоремами Рауса — Ляпунова и Кельвина — Четаева. Приведем формулировку этих теорем [77, 160]. Пусть голономная система движется под действием потенциальных сил, в ее связи стационарны. Предположим, что число степеней свободы системы равно а обобщенные координаты

— циклические. Тогда — первые интегралы, отвечающие циклическим координатам. Пусть — функция Рауса, получаемая путем игнорирования циклических координат. Ее можно записать в виде суммы где представляют собой совокупность членов второй и первой степени соответственно относительно обобщенных скоростей, отвечающих позиционным координатам а функция П не зависит от обобщенных скоростей. Функция П зависит от позиционных координат и констант она называется приведенным потенциалом или приведенной потенциальной энергией. Вопрос об устойчивости стационарных движений исходной системы часто может быть решен при помощи следующих двух теорем.

Теорема Рауса — Ляпунова. Если приведенный потенциал системы имеет минимум как при данных величинах отвечающих рассматриваемому стационарному движению, так и при всяких достаточно близких к данным значениям причем значения переменных обращающих ее в минимум - суть непрерывные функции величин то стационарное движение устойчиво по отношению к переменным

Теорема Кельвина — Четаева. Пусть приведенный потенциал является аналитической функцией и не имеет минимума на стационарном движении, причем среди собственных значений квадратной матрицы с элементами определяемыми равенствами

левая часть которых вычисляется на стационарном движенииг имеется нечетное число отрицательных и нет нулевых, то стационарное движение неустойчиво. В изучаемой задаче о движении симметричного тела на гладкой плоскости имеется только одна позиционная координата — угол Поэтому из теорем Рауса — Ляпунова и Кельвина — Четаева очевидно следует, что регулярная прецессия будет устойчива относительно если при

и неустойчива при строгом нарушении этого неравенства.

Продифференцировав левую часть равенства (2.28) по получим условие (2.32) в виде неравенства (считаем, что

которое с учетом формул (2.28), (2.8), (2.13) и равенства можно представить в виде неравенства

где — радиус кривизны меридианного сечения поверхности тела в точке М его касания с опорной плоскостью; — расстояние от этой точкн до точки пересечення оси

симметрии тела с вертикалью, проходящей через левая часть в (2.33) должна вычисляться при .

Неравенство (2.33) с учетом (2.18) можно записать в виде

Отсюда следует [77], что регулярная прецессия тела вращения на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости всегда устойчива, если радиус кривизны меридианного сечения поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью не меньше расстояния от этой точки до точки пересечения оси симметрии тела с вертикалью, проходящей через первую точку в противном случае устойчивость имеет место, если выполняется условие (2.34), которое налагает ограничение на величины

Рассмотрим еще один тип стационарных движении симметричного твердого тела на гладкой плоскости. Пусть в решении Тогда в стационарном движении

где — произвольные постоянные величины, а угол как и в случае регулярных прецессий, определяется из уравнения (2.30), которое три переходит в уравнение .

Вспоминая, что (рис. 8), приходим к выводу, что в стационарном движении, отвечающем решению (2.35), центр тяжести тела находится на вертикали, проходящей через точку касания тела с опорной плоскостью. Тело движется так, что его ось симметрии перемещается прямолинейно и равномерно. Происходит равномерное качение со скольжением вдоль фиксированной прямой если то происходит чистое качение. Условие устойчивости такого движения тела получается из неравенства (2.34), если в нем положить

При рассматриваемое движение тела представляет собой чистое скольжение, а если и к тому же тело находится в равновесии. При чистом скольжении и равновесии условие устойчивости запишется в виде неравенства

Из неравенств (2.36) и (2.37) следует [77], что если центр тяжести тела находится не выше центра кривизны меридианного сечения поверхности тела в точке его касания с опорной

плоскостью то качение со скольженнем (или чистое качение) тела вдоль неподвижной прямой с произвольной постоянной скоростью устойчиво; в противном случае для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы величина была больше некоторого критического значения, определяемого неравенством (2.36); чистое скольжение и равновесие при устойчивы, а при неустойчивы.

Следует отметить [134], что рассматриваемый тип стационарных движений возможен не для всех тел вращения, а только для тех тел, для которых существует значение угла такое, что Например, для динамически симметричного шара радиуса с центром тяжести, отстоящим от геометрического центра на расстояние (рис. 9, где имеем и этот тип движений не реализуется. Как замечено в [134], рассматриваемый тип стационарных движений тяжелого твердого тела на гладкой плоскости существует не только для симметричных тел. Для его существования достаточно, чтобы в одпом из сечений поверхности тела, перпендикулярном главпой центральной оси иперции, лежала окружность, а радиус-вектор любой точки этой окружности относительно центра тяжести тела был ортогонален поверхности тела в точке ее касания с опорной плоскостью.

Рис. 9

Во всех рассмотренных выше стационарных движениях тела предполагалось, что . Теперь рассмотрим еще один тип стационарных движений геометрически и динамически симметричного тела на гладкой плоскости, в которых или т. е. когда в стационарных движениях ось симметрии тела занимает вертикальное положение. Стационарные движения симметричного тела, представляющие собой вращения с постоянной угловой скоростью вокруг расположенной вертикально оси симметрии, изучены в работах [91, 117, 134, 156, 159, 161, 260, 279, 280].

Очевидно, что для симметричного тела, обладающего выпуклой поверхностью вращения, не имеющей заострений, имеют место равенства т. е. в точках пересечения оси симметрии тела с его поверхностью ось симметрии ортогональна поверхности тела.

Пусть при движении твердого тела его ось симметрии может проходить через вертикальное положение, отвечающее значению угла равному нулю. Для этого, очевидно, необходимо должно выполняться равенство Раскрывая неопределенность в левой части уравнения (2.28), получаем уравнение

Так как то это уравнение имеет корень Это означает, что существует стационарное вращение тела вокруг вертикально расположенной оси симметрии с произвольной постоянной угловой скоростью При этом где о — произвольные постоянные, т. е. центр тяжести тела движется равномерно вдоль прямой, параллельной опорной плоскости. Анализируя характер экстремума функции П в точке и учитывая, что получаем, что необходимым и достаточным условием устойчивости такого движения по отношению к возмущениям величин будет выполнение неравенства

которое при помощи соотношения (2.13) может записано в виде

где — радиус кривизны поверхности тела в точке ее касания с плоскостью, расстояние от центра тяжести тела до плоскости в невозмущенном движении.

При неравенство (2.39) дает условие устойчивости равновесия твердого тела, отвечающего вертикальному положению его оси симметрии (при Из (2.39) следует, что если расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости в невозмущеином движении не больше радиуса кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью то стационарное вращение тела вокруг вертикали будет устойчивым при произвольной угловой скорости тела в противном случае для устойчивости величина со должна превосходить некоторое критическое значение, определяемое неравенством (2.39). Равновесие тела при устойчиво, а при неустойчиво.

Условие устойчивости стационарного вращения тела вокруг вертикально расположенной оси симметрии в случае будет также записываться в виде неравенства (2.39), в котором и должны быть вычислены для положения тела, отвечающего значению , равному .