6. О применении некоторых обобщений теоремы об изменении кинетического момента в задаче о качении твердого тела по неподвижной поверхности.

В § 4 гл. 1 рассмотрены теорема об изменении кинетического момента системы и некоторые ее обобщения. Одпо из обобщений состоит в следующем [138, 188, 203]. Пусть некоторая ось и имеет неизменное направление в пространстве и постоянно проходит через движущуюся точку А. Пусть связи, наложенные на систему, идеальиы и в любой момент времени допускают виртуальный поворот системы как одного твердого тела вокруг оси и. Тогда если в каждый момент времени выполняется условие (4.9) гл. 1

где — вектор скорости центра масс системы точки единичный вектор оси и, то производная по времени от кинетического момента системы относительно оси и равна сумме моментов всех активных сил, действующих на систему, относительно этой оси:

Из (2.66) следует, что если в любой момент времени то существует первый интеграл

Применим это обобщение теоремы об изменении кинетического момента в задаче о движении без скольжения твердого тела, ограниченного выпуклой поверхностью по неподвижной поверхности Считаем, что поверхности и соприкасаются не более чем в одной точке и допускают дважды непрерывно дифференцируемую параметризацию. Связи, которые в данной задаче являются условиями отсутствия скольжения, идеальны и допускают виртуальный поворот тела вокруг произвольной оси проходящей через точку касания М тела с опорной поверхностью. Следуя статье А. С. Сумбатова [182]. покажем. что в случае движения без скольжения твердого тела по неподвижной поверхности теорема об изменении кинетического момента тела относительно оси и в форме (2.66) имеет место только тогда, когда тело представляет собой шар, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром, а неподвижная поверхность либо сферическая (в частности, плоская), либо произвольная цилиндрическая, причем в первом случае ось и имеет произвольное заданное направление, а во втором случае она параллельна образующей цилиндра.

Действительно, пусть — прямоугольная декартова система координат с пачалом в точке касания М тела и опорной поверхности. Оси направлены по касательным к линиям кривизны опорной поверхности — по внутренней

нормали к поверхности тела в точке М. Через обозначим главные кривизны поверхностей и в точке а через геодезические кривизны линий и следов, вычерчиваемых точкой М соприкосновения тела и опорной поверхности на и которые вычислены в точке М. Компоненты абсолютной угловой скорости тела со в системе будут такими [138]:

где — проекции вектора скорости перемещения точки М по кривой (или по , что одно и то же в силу отсутствия скольжения) соответственно на касательные к линиям кривизны на и на оси — угол между первой линией кривизны на и осью Так как

то выражения для величин можно записать в виде

Здесь — вычисленные в точке М кривизны нормальных сечений поверхности тела вдоль координатных осей

Из условия отсутствия скольжения находим компоненты вектора скорости центра масс

где х, у, z — координаты центра масс.

Если теперь компоненты единичного вектора оси обозначить через то условие (2.65) запишется в виде равенства

Для справедливости равенства (2.66) последнее соотношение должно выполняться для любых кинематически возможных движений тела по опорной поверхности. Это означает, что равенство (2.67) должно выполняться тождественно относительно независимых величин Рассматривая левую часть соотношения (2.67) как квадратичную форму относительно получаем, что это возможно только в том случае, когда на любых движениях тела

Первые два равенства из (2.68) показывают, что все нормали к поверхности тела пересекаются в его центре масс Принимая за начало системы координат запишем условие коллинеарности нормали и радиуса-вектора поверхности — гауссовы координаты поверхности):

Отсюда следует, что т. е. длина вектора постоянна. Следовательно, — сфера с центром в точке т. е. тело представляет собой шар, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром.

Таким образом, и третье равенство из (2.68) удовлетворяется. Четвертое же равенство из (2.68) позволяет теперь выяснить, какую форму должна иметь опорная поверхность чтобы имело место равенство (2.66). Возможны два случая.

В первом случае в точке М поверхности Тогда , т. е. точка М поверхности омбилическая. В силу непрерывности у и постоянства направления оси на поверхности пайдется некоторая окрестность точки в каждой точке которой . Следовательно, все точки этой окрестности омбилические, а поэтому указанная окрестность является частью сферической поверхности [39].

Во втором случае в точке М поверхности Если это равенство справедливо во всех точках некоторой окрестности точки М на поверхности то эта окрестность представляет собой часть цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси Если в любой достаточно малой окрестности точки М на поверхности есть точки, в которых то по доказанному они омбилические. В силу непрерывности коэффициентов первой второй квадратичных форм поверхности главные кривизны будут одинаковы и в точке М. На поверхности найдется некоторая окрестность точки все точки которой омбилические. Если бы это было не так, то по сказанному выше, любая сколь угодно малая окрестность точки М на поверхности содержала бы участок цилиндрической поверхности. Но это противоречило бы знакоопределенности второй

квадратичной формы в омбилической точке М. Следовательно, некоторая окрестность точки М на поверхности является сферической.

В статье [185] А. С. Сумбатов исследовал восирос о движении без скольжения однородного шара по неподвижной поверхности с целыо выяснить, когда в этой задаче теорема об изменении кинетического момента относительно проходящей через точку касания шара и опорной поверхности подвижной оси (не обязательно имеющей постоянное направление) может быть записана в виде равенства (2.66). Путем анализа кинематического условия (4.8) гл. 1

в [185] установлены виды опорных поверхностей и соответствующие им подвижные оси и, для которых справедливо равенство (2.66). В частности, в случае движения шара но неподвижной сфере осью и может служить общая нормаль к соприкасающимся сферическим поверхностям.

Сказанное позволяет пояснить причину существования интегралов (2.37) и (2.39) в задаче о движении без скольжения однородного шара по неподвижной сфере. Интеграл (2.37) выражает постоянство кинетического момента шара относительно поступательно движущейся оси вертикали, проходящей через точку касания шара и опорной сферы, а интеграл (2.39) — относительно общей нормали к соприкасающимся поверхностям. Оба этих интеграла существуют, так как моменты единственной активной силы — силы тяжести — относительно заданных подвижных осей равны нулю.

Отметим еще, что в данном параграфе рассмотрены только некоторые задачи о движении без скольжения тела сферической формы по неподвижной поверхности. Другие многочисленные задачи о движении без скольжения тела сферической формы по неподвижной поверхности можно найти, например, в работах [21. 22, 42, 43, 62, 100, 138, 156, 198, 202, 203, 221, 272, 290].