3. Существование периодических движений и их построение.

Опираясь на соотношения (8.7), (8.13) — (8.15), можно из интеграла энергии (8.5) и геометрического интеграла (8.16) найти X и в виде функций от переменных к и параметра Подставив тогда выраженные через в функции разрешив уравнения (8.9) относительно получим систему трех уравнений, у которой правые части буду функциями и параметра по угловой переменной правые части будут -периодическими.

Для получения геометрической картины двпжения перейдем еще, используя уравнение (8.18), к новой независимой переменной . Тогда, учтя еще равенства (7.7), получим такое уравнение:

К этому уравнению следует добавить еще два аналогичные уравнения, получающиеся из (8.21) при помощи циклической перестановки величин Многоточием в (8.21) обозначены члены порядка и выше.

Для нахождения -периодических по 7 решений системы (8.21) используем свойства симметрии (8.6). Рассмотрим только второе свойство симметрии, так как два других сводятся к нему путем циклического переобозначения осей системы координат

Уравнения (8.21) обладают свойством Е по отношению к матрице . Это означает [199], что система (8.21) не изменяется при подстановке Периодические решения системы (8.21) получим согласно следующему алгоритму [199].

Рассмотрим систему уравнений

где — малый параметр, функция аналптпчна по и а по она -периодична и непрерывна. При решения системы (8.22) постоянны. Все периодические решения системы (8.22), рождающиеся из ее постоянных решений, могут быть получены следующим образом. Положим

где угловые скобки обозначают усреднение по переменной . Последовательные приближения (8.23) определяют приближенное значение периодической функции с точностью до членов порядка включительно. Это значение будет функцией произвольного постоянного вектора а.

Составим систему бифуракцпонных уравнений

которая служит для определения порождающего решения — постоянного вектора а как функции е. Если система (8.24) допускает решение, для которого якобиан отличен от нуля, то, подставив это решение в получим -периодпческое решение системы (8.22) с точностью до включительно.

При имеем

где а удовлетворяет системе уравнений

Часто — и это наиболее интересный случай для приложений — якобиан для решений системы (8.24) обращается в нуль. Тогда наличие свойства Е у системы (8.22) дает возможность получать достаточные условия существования периодических решений, соответствующих некоторому частному выбору вектора а. Именно [199], если элемент диагональной матрицы равен то уравнению бифуркационной системы (8.24) удовлетворяет (во всех приближениях по ) всякий вектор а, для которого Поэтому ряд уравнений в (8.24) исчезает, что позволяет получать условия существования периодических решений, когда якобиан для решений системы (8.24) равен нулю.

Вычисления показывают, что для уравнений (8.21) упомянутый якобиан бифуркационной системы (8.24) тождественно равен нулю. Но система (8.21) обладает свойством Е по отношению к матрице . Поэтому положим

Первое и третье уравнения бифуркационной системы (8.24) при таком выборе а удовлетворяются тождественно, и поэтому требует изучения только второе уравнение при произвольных

Ограничиваясь построением решений в первом приближении по рассмотрим второе уравнение из (8.26), которое получается в результате усреднения по у правой части второго уравнения системы (8.21) при При построении в первом приближении величины и Р, входящие в выражения для можно считать постоянными и Эти постоянные удовлетворяют соотношениям а в остальном они произвольны. Произведя усреднение, получим

бифуркационное уравнение

Для анализа уравнения (8.28) рассмотрим предварительно уравнение Из него следует, что

где изменяется в промежутке от нуля до единицы. Функция может обратиться в нуль только при одновременном выполнении неравенств Производная

не обращается в нуль при Следовательно, если корни уравнения существуют, то они будут простыми.

Бифуркационное уравнение (8.28) имеет три типа решений, для которых якобпан отличен от нуля. Для решений первого типа — произвольная величина, но такая, что ; для решений второго типа — произвольно, но для решений третьего типа . Из этих решений при рождаются -периодические по решения системы уравнений (8.21).

Совершенно аналогично для доказательства существования периодических решений уравнений (8.21) можно использовать свойство Е по отношению к матрицам . В последнем случае переменную следует предварительно заменить на .

Итак, существуют два различных семейства периодических движений эллипсоида. Во-первых, существуют периодические движения, переходящие при в такие движения, для которых вектор параллелен одной из осей эллипсоида. Для периодических движении этого семейства при катящийся и вертящийся эллипсоид (шар) касается горизонтальной плоскости сечением, параллельным его главному сечению. Как следует из проведенного выше анализа уравнения периодические движения первого семейства существуют, если — любое из промежутка от нуля до единицы, или если не связаны соотношением (8.29).

Во-вторых, существуют периодические движения, для которых проекция вектора на одну из осей эллипсоида равна нулю, а на две другие оси отлична от нуля. Для этих

периодических движений при эллипсоид (шар) касается плоскости сечением, параллельным одной из его осей пересекающим две другие его оси. Периодические движения второго семейства существуют, если если при этом выполняется еще соотношение типа равенства — условие (8.29), связывающее порождающие значения величин Периодические движения второго семейства в дальнейшем не рассматриваются, так как они могут реализоваться в исключительных случаях.

Построим периодические решения первого семейства, переходящие в порождающее решение:

Величину для определенности считаем положительной. Для получения решения в первом приближении надо в правые части системы (8.21) вместо величин подставить их значения, соответствующие порождающему решению (8,30), отбросить члены выше первого порядка по и произвести интегрирование. В результате получим

Если эллипсоид будет эллипсоидом вращения то в первом приближении проекция вектора мгновенной угловой скорости на ось симметрии постоянна, а конец вектора лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, и движется вокруг нее по окружности радиуса угловой скоростью у.

Найдем координаты точки М касания эллипсоида и плоскости в зависимости от у. Для этого сначала из (8.17) определим функцию в первом приближении по

Функция вычисляется затем из (8.16).

Из (8.32) и (8.16) следует, что величины в первом приближении постоянны, когда эллипсоид будет эллипсоидом вращения либо когда его качение происходит так, что касается плоскости своим главным сечением либо, наконец, когда между и со существует зависимость которая возможна только при одновременном выполнении неравенств

Теперь из (8.13)-(8.16), (8.31) и (8.32) находим величины с точностью до членов первого порядка по :

Для получения осталось только воспользоваться формулами (8.7).

На рис. 36 схематически показан вид следа точки М на поверхности эллипсоида. Он заключен между двумя плоскостями, параллельными плоскости расстояние между которыми

След касается указанных плоскостей при Направление движения точки касания М по ее следу на эллипсоиде показано на рис. 36 стрелкой.

Рис. 36

Период Т по времени построенных периодических движений эллипсоида находится из (8.18). Он будет таким:

Из (8.18) находим также угол у как функцию времени

где — произвольная постоянная.