§ 4. Перманентные вращения твердого тела на гладкой плоскости

1. Существование стационарных движений.

Пусть тяжелое твердое тело с нроизвольпой выпуклой поверхностью без заострений и ребер движется по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Центральный эллипсоид инерции тела произволен. Обобщенные координаты — циклические. Изменение позиционных обобщенных координат со временем описывается дифференциальными уравнениями Рауса (1.38). Функция Рауса определена равенствами (1.34) — (1.37).

Твердое тело может совершать стационарные движения вида [66]

где — произвольные постоянные, а постоянные удовлетворяют уравнениям

К этим уравнениям надо присоединить соотношение

получаемое из (1.33) при

В стационарном движении (4.1) тело касается опорной плоскости одной и той же точкой М своей поверхности и вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести тела При этом сам центр тяжести движется с постоянной скоростью вдоль неподвижной прямой, параллельной опорной плоскости. Не ограничивая общности, можно считать, что центр тяжести тела в стационарном движении неподвижен. Тогда движение (4.1) будет представлять собой перманентное вращение вокруг неподвижной вертикали, проходящей через центр тяжести тела. При этом точка касания М тела с опорной плоскостью описывает на последней окружность, центр которой расположен в точке, являющейся проекцией центра тяжести на опорную плоскость. Радиус этой окружности может быть найден по формуле где величипы должны быть вычислены для значений 0 и равных значениям в движении (4.1). Использовав равенства (1.21), (1.25), получим

Индекс 0 здесь и в дальнейшем указывает на то, что соответствующая величина вычислена при

Из (1.30) вытекают следующие тождества, которые полезно заметь в виду при проведении выкладок в данном параграфе:

Из (1.37) и (4.3) следует, что система уравнений (4.2), (4.3) может быть записана в виде

В силу произвольности константы величина также может принимать произвольные значения. При заданной величине со постоянные будут определяться из первых двух уравнений спстемы (4.6), которые с учетом равенств (1.24) (1.25) и (4.5) могут быть представлены в виде уравнений

Исключив отсюда величнпу прпдем к соотношению

Здесь — направляющие косинусы вертикали в системе координат жестко связанной с телом; выражаются через по формулам (1.3) гл. 1. Соотношение (4.8) является условном, которому должны удовлетворять направляющие косинусы возможных осей перманентных вращений тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости.

Если взять какие-либо значения удовлетворяющие равенству (4.8), то значение величины определится однпм из уравнений (4.7). При этом для данных значение уже будет, вообще говоря, единственным.

Из (4.7) следует, что не каждая проходящая через центр тяжести вертикаль, направляющие косинусы которой удовлетворяют условию (4.8), является осью перманентного вращения: значения должны быть такими, чтобы из (4.7) следовало неравенство Последпее условие с учетом равенств (1.30) может быть записано в внде

Отметим еще, что соотношения (1.25) и уравнения (4.7) позволяют записать выражение (4.4) для радиуса окружности — следа точки касания на опорной плоскости — в виде