ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МЕХАНИКИ

§ 1. Некоторые понятия и формулы кинематики твердого тела

Под твердым телом мы будем обычно понимать систему материальных точек, сплошным образом заполняющую некоторый объем пространства и такую, что расстояние между двумя любыми ее точками всегда остается неизменным.

1. Задание движения твердого тела. Пусть — некоторая неподвижная декартова прямоугольная система координат. Движение твердого тела считается заданным, если известен способ определения положения каждой его точки в любой момент времени. Если на перемещения твердого тела не наложено никаких ограничений, то оно называется свободным. Свободное твердое тело обладает шестью степенями свободы. Положение тела в пространстве может быть задано, например, следующим образом. Пусть О — некоторая фиксированная точка тела. Назовем ее полюсом Координаты полюса в неподвижной спстеме координат обозначим через Пусть, далее, — декартова прямоугольная система координат с началом в выбранном полюсе О и осями, параллельными соответствующим осям системы , а декартова прямоугольная система координат жестко связана с телом. Взаимная ориентация систем координат и определяется при помощи матрицы А направляющих косинусов, задаваемых таблицей

Отметим свойства матрицы направляющих косинусов: сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) равна единице; сумма попарных произведений соответствующих элементов двух строк (столбцов) равна нулю; каждый элемент матрицы равен своему алгебраическому дополнению.

Пусть Р — произвольная точка тела, задаваемая в системе координат радиусом-вектором имеющим компоненты Тогда (рис. 1) радиус-вектор точки Р в неподвижной спстеме координат определяется равенством

Замечая, что среди девяти величии независимыми являются только три, получим, что ориентация тела может быть задана при помощи трех параметров. Из (1.2) следует, что эти параметры и координаты полюса будут темп шестью параметрами, которыми однозначно определяется положение тела в пространстве.

Рис. 1

Рис. 2

2. Углы Эйлера В качестве трех независимых параметров, задающих ориентацию тела в пространстве, примем углы Эйлера (рис. 2). Величины выражаются через углы Эйлера по формулам

3. Скорости и ускорения точек тела. Из кинематики известно, что произвольное движение твердого тела можно рассматривать как сложное, состоящее из двух движений — поступательного со скоростью произвольного полюса и вращательного вокруг этого полюса.

Скорость произвольной точки Р тела вычисляется по формуле

где — скорость полюса, а — угловая скорость тела. Ускорение точки Р определяется формулой

где — ускорение полюса, угловое ускорение тела.

4. Компоненты вектора угловой скорости. Вектор угловой скорости тела со не зависит от выбора полюса, а его проекции на соответствующие оси системы координат могут быть найдены из следующего доказываемого в кинематике тождества:

Отсюда следует, что

Из (1.3) и (1.7) получаем такие выражения величин через углы Эйлера и их производные по времени:

Обозначим через проекции вектора со на оси жестко связанной с телом системы координат. Тогда из (1.1), (1.3) и (1.8) получаем, что

Эти соотношения называются кинематическими уравнениями Эйлера.

Равенства (1.8), (1.9) можно также получить чисто геометрически из рис. 2.

5. Абсолютная и относительная производные вектора. В динамике твердого тела часто целесообразно пользоваться системой координат, которая жестко связана с самим телом или движется произвольным образом. Пусть а — какой-либо вектор, являющийся функцией времени. Скорость изменения вектора а в неподвижной системе координат называется его абсолютной производной, а скорость его изменения в движущейся системе координат — относительной производной. Абсолютная и относительная производные вектора связаны равенством

где со — угловая скорость вращения подвияшоп системы координат. В частности, если т. е. движение подвижной системы координат поступательное (или мгновенно поступательное), то» абсолютная и относительная производные вектора геометрически равны.

6. Уравнения Пуассона. Соотношение (1.10) позволяет выразить производные по времени от элементов матрицы направляющих косинусов (1.1) через сами эти элементы и проекции угловой скорости тела на оси подвижной системы координат

Пусть — единичные векторы осей неподвижной системы координат Эти векторы в системе постоянны, поэтому согласно (1.10), должны выполняться соотношения

В связанной с телом системе координат векторы и к имеют компопенты, задаваемые соответственно первой, второй и третьей строками матрицы направляющих косинусов (1.1). Если движение тела не является поступательным, то векторы в спстеме координат изменяются со временем. Проектируя векторные равенства (1.11) на получаем

Эти соотношения называются уравнениями Пуассона.