§ 3. Движение тела вращения по неподвижной поверхности

1. Уравнения Воронца движеиия тела вращения по горизонтальной плоскости. Теорема Чаплыгина.

Рассмотрим задачу о движении без скольжения твердого тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости. Предполагаем, что центр тяжести тела расположен на оси симметрии а моменты инерции тела относительно главпых центральпых осей инерции перпендикулярных равны между собой. Движение происходит в однородном поле тяжести.

За уравнения движения тела примем уравнения Воронца, рассмотренные в п. 3 § 1. Приняв параллели и меридианы за

линии и соответственпо, имеем

Из (1.16) следует, что

Отсюда и из (1.21), (1.24), (1.25) находим

Из (3.3) и (1.16) получаем

Так как координатные линии и и и являются линиями кривизны на поверхности тела, то уравнения Воронца имеют форму (1.60). В рассматриваемой задаче о движении тела вращения эти уравнения можно записать в более простом впде. Применяя обозначения § 1, имеем

Эти величины будут функциями одной координаты и. Из (3.4) следует, что

Из (1.10), (1.44), (1.45), (1.51), (1.52) и (3.1) -(3.4) получаем такое выражение кинетической энергии тела в переменных и,

где

Легко видеть, что коэффициенты (3.8) кинетической энергии аависят только от координаты .

Потенциальная энергия тела будет также зависеть только от и.

Так как функции не зависят от то уравнения (1.60) принимают более простой вид:

Одно из этих уравнений, иапрпмер второе, мы можем заменить интегралом энергии

Замечая, что

получаем, что уравнение (3.10) вместе с первым и третьим из уравнений (3.9) образует систему трех: совместных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций времени

Полученные уравнения допускают следующее частное решение:

где — постоянные величины. Это решение отвечает регулярной прецессии тела; при регулярная прецессия вырождается в чистое верчение тела вокруг своей вертикальной оси симметрии с произвольной угловой скоростью по. Указанные стационарные движения тела будут более подробно рассмотрены ниже, в

В общем же случае будем рассматривать величины в первом и третьем из уравнений (3.9) как функции переменной . Разделив обе части этих уравнений на , исключим время и придем к уравнениям

или, в раскрытом виде,

где коэффициенты — функции только .

Видим, что полученные дифференциальные уравнения (3.12) линейны. Если они проинтегрированы, то мы имеем величины и как функции и. Подставляя эти функции в интеграл энергии (3.10), определим посредством квадратур и как функцию времени. Зная же затем найдем и через время, причем придется взять еще одну квадратуру. След Г точки касания М на поверхности тела теперь определится равенствами (3.1). След на плоскости, положение центра тяжести и ориентация тела в пространстве найдутся затем способом, указанным в п. 3 § 1.

Итак, задача о движении без скольжения тяжелого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости сводится к интегрированию двух линейных уравнений первого порядка. или что то же самое, одного уравнения второго порядка, и к квадратурам.

Этот результат был впервые получен С. А. Чаплыгиным [202], поэтому сформулированное утверждение названо в [31] теоремой Чаплыгина.