§ 3. Финальные движения твердого тела на плоскости с вязким трением

Тяжелое твердое тело, движущееся по плоскости с трением скольжения, представляет собой пеконсервативную механическую систему с пятью степенями свободы, для которой в общем случае пеизвестеи ни один первый интеграл. При наличии скольжения полная энергия тела убывает со временем. Если в точке касания тела и плоскости действует спла вязкого трения где и — скорость точки касания, то согласно (2.1) полная энергия Е удовлетворяет уравнению

Скорость точки касания с течением времени стремится к пулю, т. е. тело стремится избежать трения [2]

Движение тела отнесем к неподвижной системе координат с началом в некоторой точке О опорной плоскости, ось направлена вертикально вверх. За обобщенные координаты примем координаты х, у центра тяжести тела в системе и три угла Эйлера задающих ориентацию системы координат. образованной главными центральными осями инерции тела, относительно неподвижного прострапства. Расстояние от центра тяжести до опороной плоскости будет (см. гл. 2) известной функцией углов Из (3.1) следует, что с возрастанием времени полная энергия тела стремится к некоторому пределу ?:

Если функция аналитпчна, то и правые части дифференциальных уравнений, описывающих движение тела на плоскости с вязким тренпем, аналитически зависят от фазовых координат. Поэтому и решение аналитически зависит от начальных значений и времени. Следовательно [131, 134, 135], скольжение никогда не исчезнет навсегда, так как в противном случае скорость точки касания была бы не аналитической функцией Будем считать далее, что функция является аналитической, и, следуя работам [131, 134, 135], рассмотрим задачу о нахождении предельного при (финального) множества траекторий движения тела на плоскости с вязким трением.

1. Классификация финальных движений.

Если в дифференциальных уравнениях движения тела положить то члены, зависящие от коэффициента трения (эти члены прямо пропорциональны к), обратятся в нуль, и мы придем к уравнениям движения тела по абсолютно гладкой плоскости. Далее, поскольку то предельным множеством решений уравнений движения тела по плоскости с вязким трением будет [93] максимальное инвариантное множество, содержащееся в ограниченной области фазового пространства, в точках которого Но тогда и только тогда, когда скорость скольжения и равна нулю. Таким образом, максимальное инвариантное множество из области в точках которого это множество движений без скольжения рассматриваемого тела на абсолютно гладкой плоскости.

Множество И асимптотически устойчиво для любых возмущений, возможных при движении тела по плоскости с вязким трением, и инвариантно относительно фазового потока, задаваемого уравнениями движения тела.

Чтобы найти множество финальных движений тела по плоскости с вязким трением, надо среди всех движений этого тела на абсолютно гладкой плоскости выделить те, для которых скорость и точки касания тела и плоскости равна нулю. Опираясь на соотношения (1.21), (1.24) гл. 2, условия отсутствия скольжения, задаваемые равенствами (1.66), (1.67) гл. 3, можно записать в виде

где

Положив

условия (3.3) можно записать в виде

Из (3.4), (3.5) и равенства (1.23) гл. 2 получаем, что

Кроме того, из (3.5) вытекает равенство

Для движения тела но абсолютно гладкой плоскости величины х, у (а следовательно, и Р) постоянны, а угол является циклической координатой; задача сводится к исследованию системы с двумя степенями свободы, а уравнения движения могут

быть записаны в форме уравнений Рауса (1.38) гл. 2. Соотношения (3.5) и (3.6) могут быть удовлетворены только для таких движений тела на абсолютно гладкой плоскости, в которых или или Другие финальные движения сводятся к ним при помощи соответствующего выбора связанной системы координат. Дальнейшая классификация финальных движений проводится при помощи условий (3.5) — (3.7), уравнений движения тела на гладкой плоскости и их первых интегралов. В [131, 134, 135] установлено, что возможны только следующие типы финальных движений:

а) многообразие положений равновесия тела;

б) если одна из главных центральных осей инерции тела хотя бы в одном из своих направлений ортогональна его поверхности, то существует многообразие перманентных вращений тела вокруг этой оси, направленной вертикально;

в) если в сечении поверхности тела, перпендикулярном одной из главных центральных осей инерции, например лежит окружность, а радиус-вектор точки этой окружности относительно центра тяжести ортогонален поверхности тела, то существует многообразие качений тела этим сечением вдоль неподвижной прямой с постоянной скоростью; цептр тяжести при этом находится над точкой касания, и для таких качений

г) если одна из главных центральных осей инерции тела, например является осью динамической симметрии тела, а в сечении поверхности тела, перпендикулярном этой оси, лежит окружность и радиус-вектор точки этой окружности относительно центра тяжести не ортогонален поверхности тела, то существует многообразие регулярных прецессий; для них

Заметим, что для всего множества финальных движений высота центра тяжести тела над опорной плоскостью постоянна. Отметим также, что в общем случае финальными движениями тела могут быть только положения равновесия.

Основной результат данного пункта можно сформулировать в виде следующего утверждения [131, 134]: предельным множеством траекторий движения произвольного тела по горизонтальной плоскости с вязким трением является множество движений этого тела на абсолютно гладкой плоскости без скольжения; в зависимости от геометрических и динамических характеристик тела включает в себя положения равновесия, перманентные вращения вокруг вертикали, регулярные прецессии равномерные качения вдоль неподвижной прямой.

Для каждого конкретного тела, учитывая его геометрические и динамические характеристики, можно определить структуру

множества финальных движений, т. е. представить как объединение попарно непересекающихся многообразий Каждое многообразие будет характеризоваться некоторым числом параметров. Однако заранее не ясно, к какому конкретному стремится траектория движения и каковы параметры финального движения.

Определение множества соответствующего конкретным начальным данным, представляет собой весьма сложную теоретическую задачу. Ее можно решать, например, при помощи численного интегрирования дифференциальных уравнений движения (в данной задаче расчет на достаточно большом промежутке времени позволяет определить, в окрестность какого инвариантного множества вышла траектория) или асимптотическими методами.

Согласно (3.2) величина полной энергии тела имеет предельное значение. Поэтому если представляет собой однопараметрическое многообразие движений, то из того, что траектория стремится к будет следовать, что она стремится к определенной траектории Например, для однородного эллипсоида с различными по величине осями финальным движением может быть только перманентное вращение с определенной угловой скоростью (в частности, равновесие) вокруг одной из своих осей, направленной вертикально (так как только в этом случае Если же многообразие двухпараметрическое, то условие (3.2) позволяет определить, какой из параметров имеет предельное значение, а по какому возможно «блуждание». Например, для тела вращения, у которого на интервале обращается хотя бы один раз в нуль, существует двухпараметрическое многообразие качений тела вдоль неподвижной прямой (см. выше случай Параметрами многообразия являются угол и угловая скорость Из (3.2) следует, что величина угловой скорости тела стремится к со при а по возможно блуждание, но скорость блуждания стремится к нулю.

Сформулированное выше утверждение полезно иметь в виду при исследовании устойчивости стационарных движений твердого тела на плоскости с вязким трением. Из нее следует, что если рассматриваемое движение из устойчиво, то оно асимптотически устойчиво по части переменных, характеризующих отклонение от