§ 9. Асимптотическое решение задачи о движении однородного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости

В § 8 для движущегося без скольжения по горизонтальной плоскости однородного эллипсоида, близкого к шару, рассмотрена задача о периодических движениях, рождающихся из стационарных движений шара. Там получены первые члены рядов, представляющих периодические движения и являющихся строгими решениями уравнении движения; эти решения справедливы на бесконечном интервале времени. В данном параграфе мы будем иметь дело не с точными, но частными решениями уравнений движения, а с приближенным, но зато общим их решением. Мы получим решение, аппроксимирующее точное решение на достаточно большом, но конечном интервале времени. При построении решения воспользуемся методом усреднения [126, 128].

1. Усредненная система уравнении движения.

Пусть — проекции вектора кинетического момента К эллипсоида относительно центра тяжести на соответствующие оси

неподвижной системы координат Имеем

где — элементы матрицы направляющих косинусов (1.1) из гл. 1, задающей ориентацию жестко связанной с эллипсоидом системы координат относительно неподвижной системы координат

Продифференцировав квадрат модуля кинетического момента

по времени и воспользовавшись уравнениями (8.9), получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение со временем модуля вектора кинетического момента эллипсоида:

Аналогично, дифференцируя третье из равенств (9.1) и пользуясь уравнениями (8.9) и кинематическими уравнениями Пуассона (1.12) из гл. 1, получаем дифференциальное уравнение для проекции кинетического момента на вертикаль:

Получим еще дифференциальное уравнение для угла между проекцией вектора К на плоскость и осью Имеем

где — величина проекции вектора К на плоскость Из этих равенств следует, что

Преобразовав правую часть этого равенства, опираясь на соотношения (9.1), (8.9) и на свойства элементов матрицы направляющих косинусов, получим уравнение

Здесь через обозначен угол между вектором кинетического момента и вертикалью.

Уравнения (9.3), (9.4), (8.6) описывают движение вектора К в абсолютном пространстве. Многоточием в них обозначены члены порядка и выше.

Уравнение (8.38) для угла между касательной к следу точки М на поверхности эллипсоида в точке его касания с опорной плоскостью и осью можно при помощи соотношений (7.2), (8.7), (8.10), (8.13), (8.14) и (8.37) преобразовать к следующему виду:

Функции , входящие в уравнения (9.3), (9.4), (9.6) и (9.7), определены равенствами (8.11), (8.12).

Уравнения (8.9), (8.17), (8.18), (9.3), (9.4), (9.6) и (9.7) представляют собой систему дифференциальных уравнений движения, записанную в форме, удобной для применения метода усреднения. В этих уравнениях переменные — медленно меняющиеся функции времени. Если — величина порядка единицы, то угловая переменная будет единственной быстрой переменной. Правые части дифференциальных уравнений, разрешенных относительно медленных переменных, — функции величин причем по углу они -периодичны. Напомним еще, что связаны равенством (8.16).

Усредняя по у правые части уравненпп для медленных переменных, получаем такую систему уравнений первого приближения:

Здесь введено обозначение

а функция определена в равенствах (8.28):

Решение спстемы уравнений первого приближения (9.8) — (9.12) аппроксимирует точное решение на интервале времени порядка с погрешностью порядка для медленных переменных и с погрешностью порядка единицы для у. Отметим, что этом считается величиной порядка единицы. Случай малых будет особо рассмотрен в