3. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тела, ограниченного эллипсоидальной поверхностью.

Как мы видели выше, задача о движении тяжелого твердого тела по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости сводится к рассмотрению движений системы с двумя степенями свободы, описываемой гамильтоновыми дифференциальными уравнениями (1.43). Так как функция Гамильтона (1.41) не зависит явно от времени, то существует интеграл энергии . Согласно теории множителя Якоби [188], для сведения интегрирования системы (1.43) к квадратурам в общем случае не достает одного дополнительного интеграла.

Выше отмечались два случая, когда задача о движении тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости сводится к квадратурам: 1) случай, когда поверхность тела является сферой, а центр масс тела лежит в ее геометрическом центре (случай Эйлера — Пуансо); 2) случай геометрически и динамически симметричного тела (аналог случая Лагранжа в динамике тяжелого твердого тела, имеющего одну неподвижную точку). Возникает вопрос о существовании других случаев интегрируемости. Это очень интересный и мало изученный вопрос в динамике твердого тела на плоскости. Следуя работе [19], рассмотрим задачу о существовании дополнительного аналитического в фазовом простраистве интеграла для случая тела, поверхность которого представляет собой эллипсоид, близкий к сфере, причем тело не обязательно является однородным и его главные центральные моменты инерции А, В, С различны.

Пусть — система координат, оси которой направлены вдоль главных осей эллипсоидальной поверхности тела. Если — полуоси эллипсоида поверхности тела, то уравнение последней имеет вид

Пусть — — координаты центра эллипсоида (5.42) в спстеме координат оси которой направлены вдоль главных центральных осей пнерции тела, а — косинусы углов между соответствующими осями системы координат .

Для удобства записи для величин из формул (1.3) гл. 1 введем обозначения т. е.

Величины суть проекции единичного вектора вертикали на оси Пусть — координаты точки касания поверхности тела и опорной плоскости в системе координат Из (1.4), (5.42) — (5.44) получаем, что

Величины равны значениям правой части равенства (5.45), если в ней величины заменить соответственно на

Используя найденные выражения для получаем из такое выражение для потенциальной энергии тела:

Будем считать, что поверхность тела мало отличается от сферы радиуса а центр тяжести тела близок к геометрическому центру этой сферы. Полагая

разложим функцию Гамильтона задачи по степеням е. Если отбросить несущественную аддитивную постоянную, то

Здесь есть функция Гамильтона задачи Эйлера — Пуансона

Рассмотрим сначала случай, когда все величины равны нулю, а среди величии а, хотя бы одна отлична от нуля. Это означает, что поверхность тела является сферой, а центр тяжести тела не лежит в геометрическом центре. В этом случае функция (5.48) имеет вид, аналогичный виду в случае движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В [79] для этой классической задачи показано, что если главные центральные моменты штсрцпп тела различны (что мы и предполагаем), то достаточно малых уравнения движения имеют дополнительного аналитического интеграла.

Пусть теперь все величины равпы нулю, а хотя бы одна из величин отлична от нуля, т. е. поверхность тела является эллипсоидом, центр которого совпадает с центром тяжестп тела. Тогда будет квадратичной формой относительно переменных рассматриваемая задача сводится к вопросу о

существовании дополнительного интеграла в задаче о движении твердого тела в силовом поле, имеющем квадратичный потенциал. Последняя задача изучена в работе [82]. Согласно [82], в случае когда моменты инерции тела различны, необходимые условия существования дополнительного интеграла совпадают с условиями Клебша интегрируемости уравнений Кирхгофа движения твердого тела по инерции в безграничном объеме идеальной жидкости [226]. Чтобы выполнялись условия Клебша, надо удовлетворить двум требованиям: 1) потенциальная энергия должна быть суммой квадратов величин

2) должно выполняться равенство

Для данной задачи эти требования имеют вид

Соотношения (5.49) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно Эта система имеет нетривиальные решения, так как определитель ее матрицы

равен нулю, в чем легко убедиться, прибавив, например, к первому ее столбцу второй и третий столбцы и воспользовавшись одним из свойств матрицы направляющих косинусов

Покажем, что при выполнении условия (5.50) ранг матрицы (5.51) равен нулю. Это будет означать, что главные оси эллипсоида поверхности и эллипсоида инерции тела совпадают: при этом условие (5.49) будет удовлетворяться тождественно, а условие (5.50) может быть записано в виде

Покажем сначала, что ранг матрицы (5.51) не может Сыть равным двум. Действительно, непосредственный перебор всевозможных значений отвечающих случаям, когда хотя бы одна из осей эллипсоида поверхности совпадает с какой-либо из осей

эллипсоида инерции тела, показывает, что в этих случаях ранг матрицы (5.51) меньше двух. Но, с другой стороны, если ранг матрицы (5.51) равен двум, то общее решение спстемы уравнений (5.49) зависит от одной произвольной постоянной и имеет вид Это означает, что эллипсоид поверхности тела является сферой. Но для сферы любые три ортогональные осы, проходящие через ее центр, являются главными. Отсюда следует, что рапг матрицы (5.51) не может быть равен двум.

Покажем теперь, что ранг матрицы (5.51) не может быть равен единице. Для этого заметим, что так как третий столбец матрицы (5.51) равеп взятой с обратным знаком сумме первых двух столбцов, то ее рапг совпадает с рангом матрицы

Так как ранг матрицы (5.51) меньше двух, то отсюда следует, что нее миноры второго порядка матрицы (5.53) равны нулю. Это означает, что

Воспользовавшись свойствами матрицы направляющих косинусов Си, получим, что равенства (5.54) эквивалентны равенствам

Рассмотрев все возможные случаи выполнения этой спстемы равенств, можно показать, что если рапг матрицы (5.51) равен единице, то элементы с точностью до обозначений и выбора направлений осей имеют вид

При этом эллипсоид поверхности и эллипсопд пиерцпи тела имеют одну общую ось; в случае (5.56) ось совпадает с осью Тогда общее решение системы (5.49) зависит от двух произвольных постоянных и имеет вид

Условие (5.50) с учетом (5.56) и (5.57) принимает вид

Так как ВФС, то отсюда следует, что т. е. эллипсоид поверхности тела является сферой. Но это противоречит условию так как для сферы

Таким образом, показапо, что ранг матрицы (5.51) равен нулю. Из сказанного выше следует вывод о том, что для существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего эллипсоидальную поверхность, центр которой совпадает с центром тяжести тела, необходимо, чтобы главные оси эллипсоида поверхности и эллипсоида инерции тела совпадали и чтобы выполнялось условие (5.52).

В качестве прпмера рассмотрим вопрос о существовании дополнительного пптеграла в задаче о движении тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Пусть полуоси эллипсоида с различны. С учетом выражений (5.6) для моментов инерции эллипсоида условие (5.52) можно записать в впде равенства

Так как с различны, то это равенство выполняется. Следовательно, в задаче о движении близкого к шару тяжелого однородного эллипсоида, имеющего различные полуоси, дополнительный аналитический интеграл не существует.

Некоторые вопросы интегрируемости задачи о движении тела, близкого к геометрически и динамически симметричному, рассмотрены в диссертации [165]. В частности, показано, что в общем случае уравнения возмущеипого движения тяжелого эллипсоида вращения по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости не имеют дополнительного аналитического первого интеграла. независимого с интегралом эиергни.

В статье [18] получены достаточные условия существования частного пптеграла специального вида в задаче о движении тяжелого твердого тела по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. В качестве примера рассмотрено тело, обладающее эллипсоидальной поверхностью.