Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тела, ограниченного эллипсоидальной поверхностью.Как мы видели выше, задача о движении тяжелого твердого тела по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости сводится к рассмотрению движений системы с двумя степенями свободы, описываемой гамильтоновыми дифференциальными уравнениями (1.43). Так как функция Гамильтона (1.41) не зависит явно от времени, то существует интеграл энергии Выше отмечались два случая, когда задача о движении тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости сводится к квадратурам: 1) случай, когда поверхность тела является сферой, а центр масс тела лежит в ее геометрическом центре (случай Эйлера — Пуансо); 2) случай геометрически и динамически симметричного тела (аналог случая Лагранжа в динамике тяжелого твердого тела, имеющего одну неподвижную точку). Возникает вопрос о существовании других случаев интегрируемости. Это очень интересный и мало изученный вопрос в динамике твердого тела на плоскости. Следуя работе [19], рассмотрим задачу о существовании дополнительного аналитического в фазовом простраистве интеграла для случая тела, поверхность которого представляет собой эллипсоид, близкий к сфере, причем тело не обязательно является однородным и его главные центральные моменты инерции А, В, С различны. Пусть
Пусть —
Для удобства записи для величин
Величины
Величины Используя найденные выражения для
Будем считать, что поверхность тела мало отличается от сферы радиуса
разложим функцию Гамильтона задачи по степеням е. Если отбросить несущественную аддитивную постоянную, то
Здесь
Рассмотрим сначала случай, когда все величины Пусть теперь все величины существовании дополнительного интеграла в задаче о движении твердого тела в силовом поле, имеющем квадратичный потенциал. Последняя задача изучена в работе [82]. Согласно [82], в случае когда моменты инерции тела
2) должно выполняться равенство
Для данной задачи эти требования имеют вид
Соотношения (5.49) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно
равен нулю, в чем легко убедиться, прибавив, например, к первому ее столбцу второй и третий столбцы и воспользовавшись одним из свойств матрицы направляющих косинусов
Покажем, что при выполнении условия (5.50) ранг матрицы (5.51) равен нулю. Это будет означать, что главные оси эллипсоида поверхности и эллипсоида инерции тела совпадают: при этом условие (5.49) будет удовлетворяться тождественно, а условие (5.50) может быть записано в виде
Покажем сначала, что ранг матрицы (5.51) не может Сыть равным двум. Действительно, непосредственный перебор всевозможных значений эллипсоида инерции тела, показывает, что в этих случаях ранг матрицы (5.51) меньше двух. Но, с другой стороны, если ранг матрицы (5.51) равен двум, то общее решение спстемы уравнений (5.49) зависит от одной произвольной постоянной Покажем теперь, что ранг матрицы (5.51) не может быть равен единице. Для этого заметим, что так как третий столбец матрицы (5.51) равеп взятой с обратным знаком сумме первых двух столбцов, то ее рапг совпадает с рангом матрицы
Так как ранг матрицы (5.51) меньше двух, то отсюда следует, что нее миноры второго порядка матрицы (5.53) равны нулю. Это означает, что
Воспользовавшись свойствами матрицы направляющих косинусов Си, получим, что равенства (5.54) эквивалентны равенствам
Рассмотрев все возможные случаи выполнения этой спстемы равенств, можно показать, что если рапг матрицы (5.51) равен единице, то элементы
При этом эллипсоид поверхности и эллипсопд пиерцпи тела имеют одну общую ось; в случае (5.56) ось
Условие (5.50) с учетом (5.56) и (5.57) принимает вид
Так как ВФС, то отсюда следует, что Таким образом, показапо, что ранг матрицы (5.51) равен нулю. Из сказанного выше следует вывод о том, что для существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего эллипсоидальную поверхность, центр которой совпадает с центром тяжести тела, необходимо, чтобы главные оси эллипсоида поверхности и эллипсоида инерции тела совпадали и чтобы выполнялось условие (5.52). В качестве прпмера рассмотрим вопрос о существовании дополнительного пптеграла в задаче о движении тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Пусть полуоси эллипсоида
Так как Некоторые вопросы интегрируемости задачи о движении тела, близкого к геометрически и динамически симметричному, рассмотрены в диссертации [165]. В частности, показано, что в общем случае уравнения возмущеипого движения тяжелого эллипсоида вращения по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости не имеют дополнительного аналитического первого интеграла. независимого с интегралом эиергни. В статье [18] получены достаточные условия существования частного пптеграла специального вида в задаче о движении тяжелого твердого тела по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. В качестве примера рассмотрено тело, обладающее эллипсоидальной поверхностью.
|
1 |
Оглавление
|