5. Устойчивость вращения шара на вершине поверхности двойной кривизны.

Пусть шар, обладающий геометрией масс предыдущего пункта, движется в однородном поле тяжестп по заданной неподвижной поверхности. Шар может совершать такое движение, когда он касается верхней точки опорной поверхности произвольной точкой своей поверхности и вращается с произвольной постоянной угловой скоростью вокруг вертикали. Исследуем устойчивость такого движения шара.

Пусть — радиус шара, — радиусы кривизны опорной поверхности в ее верхней точке. Величины произвольны. С шаром жестко свяжем систему координат с началом в его центре. Будем считать, что точка касания шара и неподвижной поверхности в невозмущенном движении имеет координаты . С опорной поверхностью свяжем неподвижную систему координат с началом в ее верхней точке и направленной вертикально вверх осью

Ограничиваясь исследованием устойчивости в первом (линейном) приближении, можно пренебречь в уравнениях поверхности шара и опорной неподвижной поверхности величинами выше второго порядка малости относительно возмущений и считать, что в гауссовых координатах и эти поверхности задаются соответственно уравнениями

и

Из (1.16), (1.21), (1.23), (1.25) следует, что линеаризованные относительно коэффициенты первой второй квадратичных форм рассматриваемых поверхностей будут такими:

За уравнения движения примем восемь уравнений (1.14), (1.29) и (1.34). Линеаризуем их. Линеаризация уравнений (1.34), задающих условие отсутствия скольжения, и последующее их разрешение относительно дают

Опираясь на (1.26), (1.28) и (2.48) - (2.50), представим линеаризованные разности и уравнения (1.29) в виде

Линеаризация соотношений (1.30), (1.32) дает

Сохраняя в выражении (1.11) для кинетической энергии члены не выше второго порядка относительно возмущении, имеем

здесь — масса и радиус инерции шара относительно диаметра.

Найдем еще линеаризованные выражения для моментов силы тяжести. Пусть М — точка касания шара и неподвижной поверхности. Потенциальная энергия шара вычисляется по формуле

где — проекции векторов и соответственно на ось При этом

Если уравнение (2.47) неподвнжнои поверхности записать в виде положив

то величина будет, очевидно, третьей компонентой вектора

С точностью до членов второго порядка малости отсюда получаем, что

Если отбросить несущественную аддитивную постоянную, то выражение для функции П с точностью до членов второго порядка малости относительно будет таким:

Для элементарной работы силы тяжести получаем выражение

Подставив сюда величины выраженные через из соотношений (2.52), получим

Отсюда

Теперь можно выписать линеаризованные уравнения (1.14):

Восемь уравнений (2.50), (2.52), (2.57) и будут линеаризованными уравнениями движении шара вблизи вершины неподвижной поверхности. В частности, в линеаризованной задаче угловая скорость вращения шара постоянна.

Из уравнений (2.57) можно исключить угол Для этого сначала заметим, что из (2.52) вытекают такие равенства:

Если теперь первое уравнение из (2.57) умножить на , а второе на и сложить, а затем первое уравнение (2.57) умножить на и сложить его со вторым уравнением, умноженным на то после преобразования получившихся сумм, пспользующих (2.58), (2.59), придем к такой системе уравнений относительно

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

где

Необходимые условия устойчивости определяются неравенствами

Если величины имеют противоположные знаки, то величина Судет отрицательной; в этом случае уравнение (2.61) имеет корень с положительной вещественной частью и движение шара неустойчиво.

Если же величины имеют одинаковые знаки, то условия (2.62) эквивалентны одному неравенству

Если величины отрицательны (т. е. шар движется по внутренней поверхности чашки, выпуклой вниз), то последнее неравенство выполнено при произвольных т. е. необходимые условия устойчивости удовлетворяются при любой угловой скорости вращения шара вокруг вертикали.

Когда величины положительны, неравенство (2.63) может быть представлено в виде

т. е. необходимые условия устойчивости выполняются, если угловая скорость вращения шара будет не меньше некоторой критической величины, определяемой правой частью неравенства (2.64). Другим путем это условие получено Э. Дж. Раусом [156]. В частном случае, когда , т. е. когда шар движется по внешней поверхности неподвижной сферы радиуса

правые части неравенств (2.64) и (2.44) одинаковы, и в этом случае необходимые и достаточные условия устойчивости совпадают (с точностью до знака равенства).