Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Вывод уравнений движения твердого тела, движущегося без скольжения по произвольной неподвижной поверхности.Выведем дифференциальные уравнения движения тела, катящегося по заданной неподвижной поверхности [33, 301]. Относительно поверхности тела будем предполагать, что на ней можно выделить не/которую область Мы будем рассматривать только такие движения, когда одна из точек поверхности тела из области Для получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся уравнениями (5.17) гл. 1, которые описывают движения твердого тела по отношению к произвольной системе координат, совершающей заданное движение. В качестве полюса О возьмем центр тяжести Пусть М — точка соприкосновения поверхности тела и неподвижной поверхности. Через
В качестве системы координат В обозначениях § 5 гл. 1 условия отсутствия скольжения записываются в виде равенств
где
Для кинетической энергии Т тела имеем выражение
При вычислении входящих в уравнения (5.17) гл. 1 производных от Т по
где
Далее, воспользовавшись свойствами матрицы направляющих косинусов, из (1.40) и равенств (5.9), (5.10) гл. 1 имеем следующее выражение для производной Т по
Три последних уравнения спстемы (5.17) гл. 1 теперь можно записать в виде
Здесь
В качестве обобщенных координат в задаче о качении твердого тела, следуя [33, 301], используем (примененные впервые Нейманом) следующие пять величин: две гауссовы координаты
Рис. 27 Выразим через
Здесь через
Квадрат длины
Косинус угла
Угол Соответствующие величины
Рис. 28 Найдем матрицу направляющих косинусов
Отсюда следует, что
Далее, для единичного вектора
Пусть
Отсюда и из (1.20), (1.22) следует, что
И наконец, из (1.17) получаем
При двпжении тела коордппаты
Для вычисления проекций
где Вектор
Компоненты личинам приписать индекс 1, указывающий на то, что величины
Используя рис. 27, теперь можно выписать компоненты вектора
Теперь осталось еще найти величины
где через
Из (1.15), (1.21), (1.24), (1.25) после проведения некоторых выкладок имеем
Надо еще получить условие отсутствия скольжения. Это условие выпишем, исходя из того, что отсутствие скольжения означает, что вектор скорости геометрической точки М при ее перемещении по аналогичное ему равенство для поверхности
Используя рис. 27, получаем условие отсутствия скольжения в виде двух равенств:
Разрешив эти равенства относительно
Восемь дифференциальных уравнений (1.14), (1.29) и (1.34) первого порядка (рассматриваемые с учетом выражений (1.11), (1.21), (1.24) -(1.26), (1.28), (1.30) -(1.32)) определяют сообщенные координаты Если активные внешние силы имеют потенциал, то уравнения движения допускают интеграл энергии Коща линии и и
и
Выражение (1.11) принимает вид
а уравнения (1.14) и условия отсутствия скольжения (1.34) становятся такими:
В качестве важного примера применения полученных уравнений выпишем дифференциальные уравнения движения без скольжения твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости под действием заданных активных сил. В этом случае
и уравнения (1.36), (1.38), (1.39), описывающие движепие тела, принимают такую форму:
Если главный момент внешних сил не зависит от координат
|
1 |
Оглавление
|