2. Вывод уравнений движения твердого тела, движущегося без скольжения по произвольной неподвижной поверхности.

Выведем дифференциальные уравнения движения тела, катящегося по заданной неподвижной поверхности [33, 301]. Относительно поверхности тела будем предполагать, что на ней можно выделить не/которую область так, чтобы во всех точках этой области поверхность имела единственную касательную плоскость. Аналогичные предположения делаются и относительно неподвижной поверхности: на ней можно выделить область во всех точках которой эта поверхность имеет касательную плоскость и прптом только одну.

Мы будем рассматривать только такие движения, когда одна из точек поверхности тела из области приходит в соприкосновение с одной из точек неподвижной поверхности из области

Для получения дифференциальных уравнений движения тела воспользуемся уравнениями (5.17) гл. 1, которые описывают движения твердого тела по отношению к произвольной системе координат, совершающей заданное движение. В качестве полюса О возьмем центр тяжести а оси жестко связанной с телом системы координат направим вдоль главных центральных осей инерции тела. В качестве неподвижной системы координат примем систему координат с началом в заданной точке неподвижной поверхности, по которой катится тело.

Пусть М — точка соприкосновения поверхности тела и неподвижной поверхности. Через и обозначим гауссовы координаты на участке поверхности тела и на участке неподвижной поверхности соответственно, а через обозпачпм радиусы-векторы точки М относительно и Тогда

В качестве системы координат § 5 гл. 1 примем систему координат с началом в точке касания тела и неподвижной поверхности. Ось направим по координатной оси и а ось — по направлению нормали к в точке ось дополняет оси до правой прямоугольной декартовой системы координат. Если линии будут линиями кривизны, то ось будет направлена по координатной оси

В обозначениях § 5 гл. 1 условия отсутствия скольжения записываются в виде равенств

где — проекции скорости центра тяжести на соответствующие оси системы координат В уравнениях (5.17) гл. 1 надо положить

Для кинетической энергии Т тела имеем выражение

При вычислении входящих в уравнения (5.17) гл. 1 производных от Т по мы. согласно (1.9), (1.10) с учетом равенств (5.9) гл. 1, можем пользоваться следующим выражением для Г:

где — проекции угловой скорости тела на координатные оси соответственно, — компоненты вектора в системе коордипат

— квадрат расстояния от центра тяжести тела до точки его касания с опорной поверхностью.

Далее, воспользовавшись свойствами матрицы направляющих косинусов, из (1.40) и равенств (5.9), (5.10) гл. 1 имеем следующее выражение для производной Т по

Три последних уравнения спстемы (5.17) гл. 1 теперь можно записать в виде

Здесь проекции угловой скорости тела относительно системы координат на ее оси соответственно; проекции главного момента активных внешних на эти оси; обозначены следующие выражения:

В качестве обобщенных координат в задаче о качении твердого тела, следуя [33, 301], используем (примененные впервые Нейманом) следующие пять величин: две гауссовы координаты определяющие положение точки касапия М тела опорной поверхности на участке поверхности тела две гауссовы координаты определяющие положение точки М на участке опорной поверхности угол между литиями и (рис. 27).

Рис. 27

Выразим через и их производные по времени коэффициенты. входящие в выражение (1.11) для уравнения (1.14). Для этого введем коэффициенты и первой и второй квадратичных форм поверхности

Здесь через обозначен единичный вектор оси

Квадрат длины дуги на поверхности определяется выражением

Косинус угла между координатными линиями и и и вычисляется по формуле

Угол отсчитывается (рис. 27) от оси против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора

Соответствующие величины для поверхности вычисляются по формулам, аналогичным (1-16) — (1.19).

Рис. 28

Найдем матрицу направляющих косинусов определяющую взаимную ориентацию систем координат и Пусть — единичные векторы осей , a — единичный вектор оси Тогда

Отсюда следует, что

Далее, для единичного вектора направленного по касательной к линии имеем выражение

Пусть — единичный вектор оси Из получаем равенство

Отсюда и из (1.20), (1.22) следует, что

И наконец, из (1.17) получаем

При двпжении тела коордппаты изменяются; направляющие косинусы будут сложными функциями времени, После некоторых преобразований, использующих свойства матрицы направляющих косинусов, выражений (1.21), (1.24), (1.25) и формул (5.15) гл. 1 получим следующие выражения для проекций угловой скорости тела относительно системы координат на ее оси:

Для вычисления проекций абсолютпои угловой скорости тела на оси системы координат будем рассматривать как сумму трех векторов угловых скоростей:

где — угловая скорость тела относительно системы координат (ее проекции на оси вычисляется по формулам (1.26); — угловая скорость системы координат относительно системы координат которая образуется аналогично системе координат (ее ось направлена по координатной а ось направлению нормали к участку опорной поверхности в точке М; см. рис. 27); — угловая скорость системы координат относительно неподвижной системы координат

Вектор в системе координат имеет следующие компоненты:

Компоненты вектора на системы коордпиат можно найти аналогично тому, как выше были найдены величины — проекции вектора со на оси системы координат надо только изменить знак «каждой из правых частей равенств (1.26) на обратный и входящим в них

личинам приписать индекс 1, указывающий на то, что величины относятся к Получим

Используя рис. 27, теперь можно выписать компоненты вектора в системе координат

Теперь осталось еще найти величины входящие в и определяемые равенствами (1.12) и (1.15). Из (1.12), (1.21) и (1.24) получаем

где через обозначено взятое со знаком расстояние от центра тяжести тела до касательной плоскости к поверхности в точке М:

Из (1.15), (1.21), (1.24), (1.25) после проведения некоторых выкладок имеем

Надо еще получить условие отсутствия скольжения. Это условие выпишем, исходя из того, что отсутствие скольжения означает, что вектор скорости геометрической точки М при ее перемещении по равен вектору скорости точки М гири ее перемещении по Пусть — проекции на оси скорости геометрической точки М при ее перемещении — проекции на оси ее скорости при перемещении по Учитывая равенство

аналогичное ему равенство для поверхности имеем

Используя рис. 27, получаем условие отсутствия скольжения в виде двух равенств:

Разрешив эти равенства относительно и воспользовавшись соотношениями (1.33), получим условие отсутствия скольжения в виде

Восемь дифференциальных уравнений (1.14), (1.29) и (1.34) первого порядка (рассматриваемые с учетом выражений (1.11), (1.21), (1.24) -(1.26), (1.28), (1.30) -(1.32)) определяют сообщенные координаты и величины как функции времени.

Если активные внешние силы имеют потенциал, то уравнения движения допускают интеграл энергии

Коща линии и и на и линии на суть линии кривизны этих поверхностей, дифференциальные уравнения движения значительно упрощаются. В этом случае

и

Выражение (1.11) принимает вид

а уравнения (1.14) и условия отсутствия скольжения (1.34) становятся такими:

В качестве важного примера применения полученных уравнений выпишем дифференциальные уравнения движения без скольжения твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости под действием заданных активных сил. В этом случае

и уравнения (1.36), (1.38), (1.39), описывающие движепие тела, принимают такую форму:

Если главный момент внешних сил не зависит от координат то первые шесть уравнений системы (1.40) могут интегрироваться независимо от последних двух уравнении, задающих условие движения без скольжепия.