§ 4. Эволюция движения волчка сферической формы на плоскости с вязким трением

Задаче об исследовании эволюции движения тяжелого тела вращения на плоскости с трением скольжения посвящено довольно много работ аналитического, численного и экспериментального характера [37, 86, 99, 129—134, 156, 167, 174, 175, 218-220, 222, 227, 240-243, 245, 250-255, 257, 258, 261, 267, 273—276, 286—289, 292, 302]. В большинстве из этих работ дай анализ одного из основных динамических явлений в движении волчка по плоскости с трением скольжения — подъем его оси симметрии к вертикали. Первой из работ, где дано правильное физическое объяснение этого явления, была работа [287]. Анализ подъема осн симметрии волчка содержится теперь во многих учебниках по мехаипке [26, 169] и в научно-популярной литературе [149, 173, 231].

Особенно много публикаций связано с исследованием волчка «тип-топ» сферической формы [129, 130, 167, 174, 175, 218— 220, 222, 227, 242, 250-253, 255, 273, 274, 276, 292, 302]. Результаты этих публикаций иногда имеют дискуссионный характер. Одпако выявлены главные закономерностп в поведении волчка и их происхождение. Основными факторами, определяющими движение, являются наличие трения скольжения, положение центра тяжести на оси симметрии и форма центрального эллипсоида пперцин волчка.

Ниже на основе статьи [111] исследована эволюция на бесконечном интервале времени движения тяжелого динамически симметричного твердого тела сферической формы на горизонтальной плоскости с малым вязким трением. Центр тяжести тела лежит на оси симметрии тела вблизи геометрического центра его поверхности. Основное внимание уделено исследованию характера асимптотического при стремления оси симметрии к ее совпадению с вертикалью.

1. Уравнения движения в переменных Андуайе.

Пусть тяжелое твердое тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь на нее одной точкой своей сферической поверхности радиуса Неподвижная система координат имеет начало в некоторой точке О опорной плоскости ось направлена вертикально вверх. Начало кёниговой системы координат находится в центре тяжести тела, а ее оси параллельны соответствующим осям системы координат Оси жестко связанной с телом системы координат направлены по главным центральным осям инерции тела. В дальнейшем — масса тела, — ускорение свободного падения, моменты инерции тела относительно осей соответственно.

Рис. 44.

Пусть и — вектор скорости точки тела, которой оно касается опорной плоскости, а их, — его проекции на оси Будем предполагать, что, кроме пормальпой реакции, на тело в точке касания действует сила вязкого трения; реакция плоскости в системе координат имеет компоненты — где — постоянный положительный коэффициент трения.

Если через х, у, z обозначить координаты центра тяжести тела в неподвижной системе координат, то

Для описания движения тела относительно центра тяжести будем использовать одну из модификаций перемекпых Лндуайе [212], введенную в [8, 207]. Пусть -система координат, связанная с вектором кинетического момента К тела относительно центра тяжести (рис. 44, а). Ось направлена по вектору К; переход от кёниговой системы координат к системе координат осуществляется двумя последовательными поворотами: на угол а вокруг оси этом ось переходит в ось и на угол вокруг оси Ориентация твердого тела относительно системы координат определяется углами Эйлера (рис. 44, б).

Взаимные ориентации введенных систем координат задаются при помощи соответствующих матриц направляющих косинусов:

Величины выражаются через углы Эйлера по формулам (1.3) гл. 1; для получаем такие выражения:

(см. скан)

В кёниговой системе координат вектор мгновенной угловой скорости тела со задается такими компонентами:

Уравнения, описывающие движение тела относительно центра тяжести, имеют вид [207]

Здесь — проекции момента М реакции плоскости на соответствующие оси системы коордпнат Они вычисляются по формулам

(см. скан)

— координаты центра сферической поверхности тела в системе координат

В дальнейшем в этом параграфе рассматривается динамически симметричное тело центр тяжести которого лежит на оси симметрии, проходящей через центр поверхности тела . В этих предположениях уравнения движения (4.1), (4.6), (4.7) имеют первый интеграл (интеграл Желле)