ВВЕДЕНИЕ

Задача о движении тела, соприкасающегося с твердой поверхностью, привлекает внимание ученых уже около двух с половиной столетий.

Уже в 1734 г. Л. Эйлер изучал малые колебания твердого тела, движущегося без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести [236]. Тело считалось выпуклым и рассматривались его плоские движения. Исследование этой задачи было продолжено Ж. Даламбером в его трактате но динамике [40], где плоские движения тела изучались с учетом его проскальзывания на гладкой или шероховатой плоскости. В [40] при изучении колебаний тела Ж. Даламбер рассмотрел некоторые вопросы устойчивости; установлено, что если радиус кривизны поверхности тела (плоской фигуры) в точке его касания с абсолютно гладкой плоскостью превосходит расстояние от центра тяжести тела до этой плоскости, то движение тела вблизи его положения равновесия будет представлять собой малые колебания, в противном случае тело «опрокидывается», если его слегка вывести из положения равновесия.

В 1758 г. И. Л. Эйлер (сын Леонарда Эйлера) исследовал динамику однородного шара на неподвижной горизонтальной плоскости с учетом сухого трения скольжения [235]; он показал, что центр тяжести скользящего шара движется по параболе, которая лежит в горизонтальной плоскости и ось которой параллельна направлению скольжения. Задача о движении однородного шара по неподвижной плоскости получила дальнейшее развитие в XIX и начале XX века в трудах Г. Кориолиса [87], А. Резаля [281—283], Э. Рауса [156], П. Пэнлеве [155], П. Аппеля [216].

Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела, касающегося одной точкой своей поверхности неподвижной горизонтальной плоскости, принадлежит С. Пуассону [278]. Для случая гладкой плоскости при помощи теоремы об изменении количества движения С. Пуассон получил три дифференциальных уравнения, определяющих движение центра тяжести тела; Для описания движения тела относительно центра тяжести он

использовал динамические и кинематические уравнения Эйлера. Затем С. Пуассон показал, как, используя аналитическое задание формы поверхности тела, можно из дифференциальных уравнений движения исключить реакцию плоскости, и нашел два их первых интеграла: один отражает постоянство проекции вектора кинетического момента относительно центра тяжести на вертикаль, а другой — постоянство полной механической энергии движущегося тела.

В [278] исследовано движение однородного симметричного волчка, который опирается на плоскость своим острым концом и ось которого близка к вертикали, причем опорная плоскость может совершать поступательное движение вверх или вниз с постоянным ускорением. Рассмотрено также поступательное движение твердого тела по наклонной плоскости при наличии сухого трения скольжения. В частности, выписано условие, при выполнении которого возможно движение со скольжением при заданных величинах коэффициента трения и угла наклона плоскости к горизонту. Выписаны также три дифференциальных уравнения плоского движения тела на шероховатой горизонтальной плоскости; эти уравнения применены для исследования движения однородного шара.

Исследования С. Пуассона были продолжены в трех статьях

А. Курно [228—230], опубликованных в 1829-1831 гг. Как и С. Пуассон, А. Курно применяет две декартовы системы координат — одну неподвижную, а другую жестко связанную с твердым телом. Воспользовавшись основными теоремами динамики, он получил уравнения движения тела в той же форме, что и С. Пуассои. А. Курно рассмотрел задачу о движении тела в предположении, что оно может касаться плоскости не одной, а несколькими точками, целой кривой или даже конечной площадкой. Для движения по абсолютно гладкой наклонной плоскости указаны интегралы энергии и кппетического момента; в качестве примеров рассмотрены тела в форме цилиндра или конуса. При изучении движения тела по шероховатой плоскости Л. Курно пользовался моделью сухого трения и выписал условия наличия скольжения и его отсутствия; в качестве примера рассмотрено движение однородного шара. А. Курно рассмотрел также некоторые вопросы определения реакций и динамики тела на шероховатой плоскости, предполагая, что тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда и касается плоскости одной своей гранью.

В середине XIX в. обширные исследования движения выпуклого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости проведены В. Июизё [279, 280]. В. Пюпзё исследовал в линейной постановке задачу об устойчивости вращения тела любой выпуклой формы вокруг вертикали, а также малые колебания тела вблизи его положения равновесия на плоскости [280]. В. Пюизё, в частности, показал [279], что если тяжелое твердое тело вращения достаточно быстро закручено вокруг оси симметрии, то

угол между этой осью и вертикалью всегда остается сколь угодно близким к его начальному значению.

В 1861 г. Г. Слессер [286] составил уравнения движения тяжелого тела вращения на неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. При этом он использовал основные теоремы динамики, записанные в системе координат, движущейся относительно тела.

В 1872 г. Н. Феррере [238] исследовал задачу о движении тяжелого однородного кругового диска по неподвижной горизонтальной плоскости в отсутствие скольжения. Исследование

Н. Феррерса опирается не на основные теоремы динамики, как это было в трудах его предшественников при изучении движения твердого тела по плоскости, а на новые, полученные самим

Н. Феррерсом уравнения движения (уравнения движения неголономных систем без неопределенных множителей Лагранжа).

Задаче о движении твердого тела по заданной поверхности много внимания уделил Э. Раус в своем трактате [156], вышедшем в последней четверти прошлого века. Как и Г. Слессер, Э. Раус использовал основные теоремы динамики и широко применял систему координат, подвижную относительно тела. Э. Раус составил уравнения движения однородного шара по произвольной абсолютно шероховатой поверхности под действием заданных сил; подробно исследовал движение шара по неподвижным поверхностям, имеющим форму цилиндра, конуса, параболоида, произвольной поверхности вращения, а также движение шара на вращающейся сфере; рассмотрел задачу об устойчивости и малых колебаниях тяжелого шара вблизи вершины абсолютно шероховатой поверхности произвольной формы.

Э. Раус изучил движение со скольжением тяжелого шара на наклонной плоскости, нашел стационарные движения твердого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости и исследовал малые колебания тела вблизи этих движений.

В трактате [156] Э. Раус сформулировал также общую процедуру, позволяющую при помощи основных теорем динамики получить дифференциальные уравнения движения твердого тела на горизонтальной плоскости при различном характере взаимодействия тела и плоскости в точке их касания: рассмотрено движение на абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой плоскости, а также движение при наличии сухого трения скольжения.

В конце XIX — начале XX века исследование движения тела, касающегося твердой поверхности, велось очень интенсивно и в различных направлениях. В 1892 г. Д. К. Бобылев [12] сформулировал и разрешил в эллиптических функциях времени задачу о движении без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости шара с гироскопом внутри и с центром тяжести системы в геометрическом центре шара. В несколько упрощенной постановке эту же задачу в 1893 г. исследовал Н. Е. Жуковский

[52]. Решение более общей задачи о движении без скольжения по неподвижной плоскости тела с гироскопом содержится в статье С. А. Чаплыгина [202], в которой поверхность катящегося тела не обязательно является сферой, а представляет собой произвольную поверхность вращения.

В двух своих работах [203, 204] С. А. Чаплыгин, воспользовавшись основными теоремами динамики и некоторыми их обобщениями, решил очень сложные задачи о движении шаров. В первой из этих работ исследована система, состоящая из полого шара, внутри которого находится выпуклое тело с гладкой поверхностью, а сам шар движется со скольжением или без скольжения по неподвижной плоскости, составляющей произвольный угол с горизонтальной плоскостью; внутреннее тело также может иметь полость, в которой движется еще одно тело, и т. д. Во второй работе С. Л. Чаплыгин решил задачу о движении по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости неоднородного шара, центр тяжести которого совпадает с его геометрическим центром.

Движение со скольжением или без скольжепия тяжелого однородного шара по неподвижпой сферической поверхности исследовалось А. Фиркандтом в его работе [294], опубликованной в 1892 г. В этой же работе рассмотрена задача о движении диска по неподвижной горизонтальной плоскости.

В исследовании М. Джеббиа [244], посвященном задаче о движении одной твердой поверхности по другой, указапы случаи, когда кинематическое условие отсутствия скольжения представляет собой интегрируемую связь.

В статье [290] Е. Штюблер при помощи теорем об изменении количества движения и кинетического момента дал подробный анализ движения без скольжения однородного шара в поле тяжести по цилиндрической поверхности, образующая которой наклонена к горизонтальной плоскости под произвольным углом. Изучено движение центра шара и вектора его мгновенной угловой скорости, найден след точки касания на поверхности шара, вычислена реакция цилиндра в точке касания.

В работе Ф. Нетер [272] дан общий анализ уравнений движения без скольжения тяжелого шара по неподвижной поверхности: рассмотрены условия существования их решении, число и Характер особых точек, положение точек ветвления в зависимости от формы поверхности и т. д. Уравнения движения шара по параболоиду вращения проинтегрированы, дан подробный анализ получающихся при этом квадратур. Рассмотрено влияние трения качения и трения верчения на найденные движения шара.

В конце XIX — начале XX века в работах [225, 243, 295, 296] продолжалось начатое еще в середине XIX столетия [287, 239] исследование движения волчка по горизонтальной плоскости. В частности, в работе [296] были сделаны первые попытки получения теоретического объяснения обнаруженной в экспериментах зависимости устойчивости стационарных вращений

вокруг вертикали несимметричного волчка, ограниченного поверхностью двойной кривизны, от направления вращения (задача об устойчивости движения «кельтского камня»).

Динамике тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости посвящены работы Ж. Адамара [246—248].

Н. Е. Жуковским [53] была рассмотрена задача о равновесии твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость некоторой площадкой при наличии сухого трения. В исследованиях П. Пэнлеве [155] и Е. А. Болотова [15], посвященных общей теории движения механических систем с трением, содержатся некоторые конкретные примеры движения твердого тела по шероховатой поверхности.

В последней четверти XIX — начале XX века появились трактаты [245, 254, 261, 288], содержащие изложение основных достижении в динамике твердого тела и, в частности, в динамике тела на неподвижной плоскости. Небольшая монография [214] специально посвящена движению тела по абсолютно шероховатой поверхности. Кинематика движения тела по поверхности изучена в классических трактатах [188, 284, 293] и статьях [11, 187, 232, 233].

Исследования динамики тела, катящегося по твердой поверхности, во многом определили развитие аналитической динамики неголоиомных систем (т. е. систем с дифференциальными неинтегрируемыми связями) в конце XIX — начале XX века. Термин «неголономные системы» был введен в механику Г. Герцем в 1894 г. в его сочинении [35]. Задачи о качении тела по твердой поверхности обычно приводят к необходимости изучения неголономных систем. Простейшим примером неголономной системы является шар, движущийся без скольжения по плоскости [154]. Начало неголономной мехапики связано еще с трудами Ж. Лагранжа [90] и М. В. Остроградского [145]. Однако качественное различие между голономными неголономными системами было четко установлено только на рубеже XIX и XX веков, когда выяснилось, что движение неголономной системы в отличие от голономной не может быть описано уравнениями Лагранжа второго рода. Игнорирование этой специфики неголономных систем привело к известным в истории механики ошибкам, например в работах [265, 271], допущенным при изучении динамики катящегося тела. Исправление этих ошибок привело к созданию дифференциальных уравнений динамики неголономных систем.

В 1895 г. С. А. Чаплыгин впервые получил дифференциальные уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах при наличии линейных по обобщенным скоростям неиптегрируемых связей [202]. При этом предполагалось, что кипетическая и потенциальная энергии системы, а также уравнения связей не содержат некоторых из обобщенных координат. Системы, обладающие такими свойствами, стали впоследствии называть системами Чаплыгина.

В 1901 г. П. В. Воронец получил более общие уравнения движения неголономных систем, применимые и к системам, не являющимся системами Чаплыгина [28, 29].

В 1899 г. П. Аппель вывел новую форму уравнений динамики, показав, что для написания дифференциальных уравнений движения достаточно знать выражение для силовой функции системы и еще одной функции, называемой энергией ускорений и представляющей собой полусумму произведений масс точек системы на их ускорения [213].

В диссертации П. В. Воронца [31] приведены основные результаты по неголономным системам, полученные к 1903 г., с критической оценкой примененных различными авторами методов.

Помимо общих вопросов иеголономной механики на рубеже XIX и XX веков были изучены и некоторые задачи о движении тела по неподвижной поверхности в предположении, что тело касается поверхности одной точкой, а скольжение отсутствует: задача о движении тела вращения, в частности диска, по горизонтальной плоскости [30, 31, 33, 202, 215, 262, 263]; задача о движении по инерции эллипсоида вращения, мало отличающегося от шара, а также тела, поверхность которого подобна его центральному эллипсоиду инерцпи; задача о качении однородного трехосного эллипсоида, когда точка касания описывает одно из его главных сечений [31, 33]; задача о движении материальной плоскости по шару [33, 301]; задача о качении твердого тела, ограниченного поверхностью эллипсоида, по поверхности эллипсоида с теми же осями [33]; задача о качении диска по произвольной поверхности под действием заданных сил [211, 299] и некоторые другие задачи, ранее рассмотренные при помощи основных теорем динамики.

Важнейший вклад в динамику катящегося твердого тела внесли работы П. В. Воронца [30—33, 299—301], в которых получены общпе дифференциальные уравнения движения без скольжения тела по заданной выпуклой поверхности под действием заданных сил и рассмотрены некоторые частные случаи движения.

В 1932 г. X. М. Муштари [137| продолжил исследование уравнений движения без скольжения тяжелого тела вращения по неподвижной плоскости, полученных С. А. Чаплыгиным [202], и указал несколько новых частных случаев, допускающих полпое исследование движения.

Для теории неголономных систем и ее приложений большой пнтерес представляет рассмотренная С. А. Чаплыгиным задача о движении по инерции тела параллельно неподвижной горизонтальной плоскости [205]. Тэло опирается на плоскость тремя точками, две из которых свободно скользят по плоскости, а третья является точкой касания тонкого колесика, ось которого жестко скреплена с телом, и плоскости. Движение колесика рассматривается как чистое качение по плоскости. С. А. Чаплыгин показал, что решение рассматриваемой задачи может быть

сведено к квадратурам. Другое решение задачи С. А. Чаплыгина дано В. В. Вагнером [24]. В [144] рассмотрено обобщение задачи С. А. Чаплыгина на случай движения тела по произвольной поверхности и учтено влияние силы тяжести при движении по сфере. К. Каратеодори [223] исследовал задачу о плоском движении тела, опирающегося о плоскость двумя точками, одна из которых скользит без трения по плоскости, а другая ограничена в своем движении, подобно точкам острого полоза саней: проекция ее скорости на нормаль к полозу равна нулю.

В 40—50-х годах текущего столетия было опубликовано много работ, в которых с разных позиций была подробно исследована динамика так называемого волчка «тип-топ», который представляет собой динамически симметричное тело, ограниченное сферической поверхностью [218—220, 222, 240—242, 250—253, 255, 273—276, 292]. Основное внимание в этих работах уделялось качественному объяснению поворота оси симметрии быстро закрученного волчка, поставленного на шероховатую плоскость.

В 1958 г. Е. И. Харламова [198] продолжила исследования С. А. Чаплыгина [204] о качении по горизонтальной плоскости неоднородного шара с трехосным центральным эллипсоидом инерции, центр тяжести которого совпадает с его геометрическим центром. Рассматривая движение не на горизонтальной, а на наклонной плоскости, Е. И. Харламова показала, что при некоторых ограничениях, налагаемых на начальные условия, уравнения движения шара по наклонной плоскости могут быть приведены к уравнениям, по форме совпадающим с уравнениями. исследованными С. А. Чаплыгиным.

Исследование конкретных задач о движении тела, соприкасающегося с твердой поверхностью, некоторое время развивалось значительно медленнее, нежели шло изучение общих вопросов динамики неголономных систем, на развитие которых на рубеже XIX и XX веков так решительно повлияли частные задачи динамики твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости. В последние десятилетия полученные результаты в области математики и механики позволили по-новому взглянуть на динамику твердого тела и значительно расширить арсенал методов, применяемых для решения конкретных механических задач. Такие математические средства анализа, как метод малого параметра Пуанкаре, теория устойчивости движения, асимптотические методы, теория возмущений гамильтоновых систем, метод топологического анализа натуральных систем с симметрией, методы численного анализа, позволили в последние десятилетия значительно продвинуть вперед проблему о движении тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. Перечислим основные результаты исследования этой задачи за последние 20—30 лет.

В работах Ю. П. Бычкова [20—22] методом П. В. Воронца [31. 300, 301] найдены новые случаи интегрируемости задачи о качении тела вращения но неподвижной абсолютно шероховатой поверхности вращения: подробно исследован частный случай

качение динамически симметричного шара по поверхности сферы. В статье [23] при помощи уравнений Эйлера — Лагранжа получены дифференциальные уравнения в псевдокоординатах, описывающие движение произвольного выпуклого твердого тела по произвольной абсолютно шероховатой выпуклой поверхности.

При помощн второго метода Ляпунова в теории устойчивости движения решена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали однородного твердого тела, ограниченного произвольной поверхностью вращения, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости [44, 60, 423, 125]; исследована устойчивость произвольного стационарного движения катящегося по плоскости тела вращения, в частности диска, тора и неоднородного шара [46, 63, 69, 71, 123, 125, 138, 142, 143, 153], а также устойчивость качения тела вращения, на оси симметрии которого установлен вращающийся гироскоп [41, 45, 122, 123, 168]. Устойчивость и малые колебания оси симметрии волчка вблизи ее равновесного вертикального положения на плоскости при наличии сухого или вязкого трения скольжения исследованы в работах [1, 74, 75, 86, 99, 124]. Задача об устойчивости вращения вокруг вертикали несимметричного тела на горизонтальной плоскости при наличии вязкого трения изучалась в статьях [65, 269, 270].

В. В. Румянцев [159, 161, 162] исследовал задачу об устойчивости стационарного вращения и, в частности, равновесия тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости. Предполагалось, что гиростат имеет произвольный центральный эллипсоид инерции и произвольную выпуклую поверхность, а гиростатический момент постоянен. В. В. Румянцев получил условия, необходимые и: достаточные для устойчивости равновесия или вращения гиростата вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести и точку касания гиростата и плоскости, а также рассмотрел задачу о движении по гладкой горизонтальной плоскости тяжелого симметричного гиростата с переменным гиростатпческим моментом.

В статьях [7, 64, 161] решена задача об устойчивости вращения вокруг вертикали движущегося по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости несимметричного тяжелого твердого тела, ограниченного выпуклой поверхностью двойной кривизны, и, таким образом, отмеченное еще в конце прошлого века явление зависимости устойчивости вращения кельтского камня вокруг вертикали от направления вращеипя [295, 296] получило теоретическое обоснование. В статьях [109, 147] содержится обоснование еще одного интересного эффекта в динамике кельтского камня, состоящего в изменении направления его вращения вокруг вертикали без активного внешнего воздействия и в возникновении вращения вокруг вертикали в том или ином направлении за счет колебаний тела вокруг горизонтальной оси. Результаты численного анализа динамики кельтского камня опубликованы в статьях [258, 264].

В вышедших в 1967 г. монографпп [138] и в 1970 г. учебнике [43] по неголономной механике содержится значительное

число конкретных примеров качения тел по неподвижной поверхности.

Общая задача о существовании и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела на горизонтальной плоскости подробно изучена в работах А. В. Карапетяна [65—67, 70, 77]. В этих работах рассматривается движение тела, распределение масс которого, вообще говоря, произвольно, а поверхность тела также произвольна: требуется только, чтобы она была выпуклой и не имела ребер. В упомянутых работах [65—67, 70, 77] найдены все перманентные вращения и условия их существования и устойчивости, а также исследовано влияние характера взаимодействия тела с плоскостью на устойчивость перманентных вращений (плоскость может быть абсолютно гладкой, абсолютно шероховатой или в точке касания тела и плоскости может возникать сила вязкого трения скольжения). В работах [68, 70, 77] также в общей постановке рассмотрена задача о существовании и устойчивости регулярных прецессий динамически и геометричеки симметричного тяжелого твердого тела на горизонтальной плоскости для трех упомянутых случаев его взаимодействия с плоскостью.

Существование и устойчивость стационарных движений тела с острым краем на абсолютно гладкой плоскости исследованы в работах [108, 120, 200, 209].

В статье [118] решены задачи об устойчивости двух типов движения однородного трехосного эллипсоида на абсолютно гладкой плоскости: вращения вокруг одной из осей эллипсоида, направленной вертикально, и такого движения, при котором одна из осей горизонтальна, а точка касания описывает на поверхности эллипсоида одно из его главных сечений. В статье [9] исследована устойчивость вращения гиростата вокруг вертикали на абсолютно гладкой плоскости в тех случаях, когда этот вопрос не решается при помощи соответствующих достаточных условий устойчивости, полученных в работе [161].

Н. К. Мощук в работах [131, 134] исследовал фазовую топологию движения твердого тела на абсолютно гладкой плоскости, определил топологический тип интегральных многообразий и изучил его изменение при прохождении некоторого бифуркационного множества. Результаты работ [131, 134] применены в [210] для анализа областей возможности движения тел с острым краем.

В статьях [105, 117] методами современной теории возмущений гамильтоновых систем проведено качественное исследование движения мало отличающего от шара однородного эллипсоида и близкого к динамически и геометрически симметричному твердого тела на абсолютно гладкой плоскости. Некоторые вопросы полной интегрируемости задачи о движении тяжелого эллипсоида на абсолютно гладкой плоскости изучены в работах [19, 165]. В [186] для задачи о движении тела по горизонтальной гладкой плоскости найдено общее аналитическое выражение

поверхности, ограничивающей тело, для которого уравнения движения допускают совокупность четырех линейных и однородных по скоростям инвариантных соотношении; подробно рассмотрен случай поверхности вращения.

В работе [167] проведено качественное исследование движения на конечном интервале временп тела вращения на шероховатой плоскости при наличии скольжения в предположении, что сила трения мала. Изучен характер квазистационарных движений, представляющих собой прецессии с медленно изменяющимся углом наклона оси симметрии тела к вертикали. Асимптотическому исследованию движения тора и волчка, мало отличающегося от симметричного на плоскости с трением, посвящены работы [48—51, 132]. Движение со скольжением однородного тяжелого шара в вертикальном цилиндре рассмотрено в [84].

В статье [111] при помощи метода усреднения и второго метода Ляпунова на бесконечном интервале времени исследована эволюция движения динамически симметричного волчка со сферической поверхностью на плоскости с малым вязким трением.

В работах [107, 133, 134] методом усреднения исследовано движение однородного трехосного эллипсоида, мало отличающегося от шара и неоднородного шара, центр тяжести которого лежит в его геометрическом центре, на плоскости с малым сухим или вязким трением. Указаны интегралы усредненных уравнений, и дан качественный анализ эволюции движения. В частности, выявлена тенденция эллипсоида к такому движению, когда его наибольшая ось занимает вертикальное положение; финальное движение шара в случае вязкого трения таково, что его центр тяжести движется прямолинейно и равномерно, а сам шар вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси наименьшего из центральных моментов инерции.

В статьях [104—106] исследовано движение без скольжения однородного эллипсоида по горизонтальной плоскости (эллипсоид принят близким к шару). Найдены периодические движения эллипсоида, рождающиеся из стационарных движений шара, исследована их устойчивость, определены следы точки касания на эллипсоиде и на плоскости, вычислена реакция плоскости. Показано, что в первом приближении метода усреднения самое общее движение эллипсоида относительно центра тяжести будет движением Эйлера — Пуансо с измененным масштабом времени, зависящим от начальных условий движения. Аналогичное исследование для неоднородного шара проведено в диссертации [134].

Эволюция движения произвольного тяжелого твердого тела на плоскости с вязким трением исследована в работах [131, 134]. Найдено предельное множество траектории движения; оно включает в себя положения равновесия, перманентные вращения, регулярные прецессии и равномерные качения вдоль неподвижной прямой.

Некоторые задачи о движении твердого тела с полостью, содержащей жидкость, при наличии соприкосновения тела с

горизонтальной плоскостью изучались в статьях [59, 113—115]. Б [115] показана интегрируемость задачи о качении шара с лшогосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью, совершающей безвихревое движение. В [113] получены условия устойчивости вращения вокруг вертикали динамически и геометрически симметричного тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, на абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой плоскости; в случае произвольного тела с выпуклой поверхностью в [114] исследованы нелинейные колебания на абсолютно шероховатой плоскости. В [59] рассмотрено движение шара, полностью заполненного вязкой жидкостью, по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости; установлено существование перманентных вращений шара около вертикальной оси.

Некоторые вопросы динамики шара и тела вращения на горизонтальной плоскости, вращающейся вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью, рассмотрены в работах [146, 193, 195, 298]. Движение шара по сфере, вращающейся вокруг вертикального диаметра, исследовано в [194]. В [47] выписаны уравнения движения гироскопического шара Жуковского на вращающейся плоскости.

В статьях [56, 57, 110, 112, 119] рассматривались задачи об устойчивости периодических движений тела при наличии его соударений с абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью, неподвижной или совершающей синусоидальные колебания вдоль вертикали. Для неподвижной плоскости в предположении об абсолютно упругих соударениях установлена своеобразная «кван-тованность» областей устойчивости по высоте подскока тела пад плоскостью. В [58] исследована устойчивость перманентных вращений симметричного тела при наличии его соударений с абсолютно шероховатой плоскостью.

В статьях [196, 197] рассмотрены некоторые вопросы кинематического истолкования движения гироскопического шара Жуковского.

В работах [61, 86, 166, 170, 256] исследован ряд задач о движении тела по плоскости в предположении, что касание тела и плоскости происходит не одной, а несколькими точками или даже площадкой, имеющей конечные размеры.

Вопросы о существовании линейных относительно скоростей интегралов неголономных систем рассмотрены в [183]. Статья [80] посвящена проблемам теории интегрирования уравнении неголономной механики. Некоторые задачи качественного анализа динамики тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой поверхности изучены в [136, 191].

В приведенном обзоре упомянуты не все работы по динамике тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. Некоторая дополнительная библиография будет дана в соответствующих главах книги, а также может быть почерпнута из книг [2, 36—38, 77, 94, 100, 138, 156, 163, 164, 261] и статей [31, 137, 272, 294].