2. Преобразование уравнений движения.

Пусть эллипсоид мало отличается от шара радиуса Положим

и исследуем движение эллипсоида при малых значениях е. Сделав в уравнениях (7.1), (8.3) и (8.4) замену переменных

получим следующую систему уравнений:

где введены обозначения

Здесь многоточием обозначены члены порядка выше. Выражения для получаются соответственно из выражений для и путем циклической перестановки величин

При уравнения (8.8) — (8.10) описывают движение без скольжения однородного шара по плоскости. Это движение рассмотрено в п. 1 § 2: в общем случае движения, отличном от чистого верчения вокруг вертикали, вектор мгновенной угловой скорости шара постоянен по величине направлению, а центр шара движется равномерно и прямолинейно в направлении, перпендикулярном след точки касания на плоскости — прямая линия, а на поверхности сферы, ограничивающей шар, — окружность неизменного радиуса расположенная в плоскости, перпендикулярной и отстоящей от центра шара на неизменное расстояние (рис. 30); нормальная реакция плоскости равна весу шара, сила трения равна нулю.

Для исследования движения эллипсоида при малых значениях введем вместо переменных новые переменные при помощи следующих двух замен переменных. Во-первых, введем переменные формулам

Эта замена переменных соответствует переходу от системы

координат к системе координат , у которой ось параллельна вектору ось перпендикулярна плоскости а ось составляет тупой угол с осью . Угол а — это угол между вектором и осью , а — угол между проекцией на плоскость и осью (на рис. 35 вектор мгновенной угловой скорости изображен проходящим через центр тяжести на самом деле он проходит через точку М касания эллипсоида опорной плоскости).

Рис. 35

Во-вторых, вместо переменных введем переменные по формулам

Введенные переменные имеют следующий смысл: в невозмущенном движении (при ) величины постоянны, — радиус окружности — следа точки касания на поверхности шара, — расстояние от плоскости этой окружности до центра шара, — угол между радиусом-вектором точки касания относительно центра окружности — следа и фиксированным в ее плоскости направлением, причем у — угловая скорость движения точки касания М по ее следу на поверхности шара.

Уравнение (8.8) и уравнения для имеют следующий вид:

Здесь введены обозначения

В (8.11), (8.12) и (8.17) -(8.20) величины должны быть выражены через в соответствии с

формулами (8.13) -(8.15). Многоточием в (8.17), (8.18) обозначены члены порядка и выше.

Для описания движения эллипсоида в новых переменных надо в системе уравнений (8.9), (8.10) уравнения (8.10) замеинть на уравнения (8.17), (8.18), а равенство (8.8) — на (8.16).