5. Нелинейные колебания.

В -окрестности положения равновесия правые части уравнений отличаются от отвечающих им правых частей точных уравнений возмущенного движения на величины порядка соответственно. Решения точных уравнении аппроксимируются решениями системы (6.18), (6.19) с погрешностью порядка для и порядка для на интервале времени порядка . Ограничиваясь этой точностью, будем вместо полных уравнений возмущенного движения рассматривать приближенную систему (6.18), (6.19).

Уравнения (6.19) сразу интегрируются. Получаем Система (0.18) описывает эволюцию «амплитуд» высокочастотных и низкочастотных колебаний и угловой скорости вращения тела вокруг вертикали. Непосредственной проверкой убеждаемся, что она имеет интегралы

где и — постоянные, определяемые начальными условиями.

Траектории системы (6.18) представлены на рис. 34 в пространстве Они расположены в области и представляют собой кривые, являющиеся пересечением

эллипсоида (6.20) и цилиндрической поверхности (6.21). На рис. 34 принято обозначение При заданном значении постоянной величина должна удовлетворять неравенствам

При движение невозможно. Штриховкой на рис. 34 показана плоскость на которой обращается в нуль правая часть третьего уравнения системы (6.18). Траектории на рис. 34 симметричны относительно плоскости Направление движения по траекториям показано стрелками. На рис. 34 представлен случай при направление движения изменится на обратное.

Рис. 34

Остановимся подробно на свойствах решений системы (6.18) и их связи с характером движения твердого тела но плоскости. Точками на рис. 34 отмечены положения равновесия системы (6.18). Точкам отвечают стационарные вращения тела вокруг вертикали соответственно против часовой стрелки с угловой скоростью и по часовой стрелке с угловой скоростью Оба эти вращения неустойчивы, что следует из линеаризованных уравнений (6.18), которые выпишем для надо только изменить знак на обратный):

и иллюстрируется рис. 34. Это находится в соответствии с где отмечалось, что при достаточно малых угловых скоростях стационарное вращение (6.1) неустойчиво независимо от направления вращения (при ).

Положению равновесия отвечают условно-периодические или даже периодические, если — рациональное число (не равное двум, так как случай исключен из рассмотрения) колебания тела. При этом

Для таких колебаний не наблюдаются эффекты, характерные для «кельтских камней» [295—297]: колебания относительно горизонтальных осей не вызывают вращения тела вокруг

вертикали При исследовании устойчивости колебаний воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости, построив функцию V в виде связки первых интегралов (6.20), (6.21) в возмущенном движении. Положив перепишем их в виде

Многоточием в функции обозначены члены выше второго порядка относительно возмущений Пусть Имеем разложение

Так как эта функция определенно положительна, то [97] рассматриваемые колебания устойчивы относительно возмущений Этот вывод иллюстрируется рис. 34, где точка окружена сколь угодно близко к ней расположенными замкнутыми траекториями, лежащими на эллипсоиде (6.20).

Система уравнений (6.18) имеет следующие два частные решения, в которых или тождественно равны нулю:

Эти решения на рис. 34 представлены асимптотическими траекториями, соединяющими неустойчивые положения равновесия

Решение (6.22) отвечает таким движениям тела, когда оно, вращаясь вокруг вертикали, совершает низкочастотные колебания с частотой Если т. е. в начальный момент тело либо совсем не закручено вокруг вертикали, либо закручено по часовой стрелке, то с течением времени «амплитуда» колебаний монотонно убывает (при , как на рис. 34) от ее начального значения до нуля, а угловая скорость возрастает по модулю. В пределе тело совершает чистое вращение

вокруг вертикали по часовой стрелке с угловой скоростью Если же т. е. в начальный момент тело закручено против часовой стрелки, то предельное движение тела будет таким же, как и но эволюция движения существенно иная. При «амплитуда» колебании монотонно возрастает, а тело вращается вокруг вертикали против часовой стрелки с уменьшающейся угловой скоростью. В момент угловая скорость обращается в нуль, а «амплитуда» колебаний достигает своего максимального значения При тело уже вращается по часовой стрелке с возрастающей по модулю угловой скоростью, а амплитуда колебаний монотонно убывает. Такпм образом, при за время эволюции движения один раз происходит смена направления вращения тела вокруг вертикали.

Решение (0.23) описывает движения, в которых тело, вращаясь вокруг вертикали, совершает высокочастотные колебания. Анализ эволюции движеиия аналогичен предыдущему случаю. Предельным движением здесь будет чистое верчение вокруг вертикали против часовой стрелки с угловой скоростью Если в начальный момент времени тело закручено вокруг вертикали по часовой стрелке, то при происходит смена направления вращения. В этот момент «амплитуда» колебаний достигает своего максимального значения

Рассмотрим теперь решения системы (6.18), отличные от решений (6.22), (6.23) и от положений равновесия . Из интегралов (6.20) и (6.21) имеем

где

Подставив из (6.24) в первое уравнение системы (6.18) и разделив переменные, получим

Если отсюда найдена функция то находятся из соотношений (6.24).

Найти явную аналитическую зависимость в общем случае невозможно. Но качественный характер движения можно получить непосредственно из спстемы уравнении (6.18). Пусть, например, в начальный момент времени правая часть третьего уравнения спстемы (6.18) и величина положительны. Картина движения будет такой (см. рис. 34). При тело все быстрее вращается вокруг вертикали против часовой стрелки растет); при этом «амплитуда» высокочастотных колебаний уменьшается, а амплитуда низкочастотных колебаний увеличивается.

Это приведет в конце концов к тому, что правая часть третьего уравнения системы (6.18) обратится в нуль; на рис. 34 это соответствует моменту, когда траектория пересекает плоскость . В этот момент угловая скорость вращения тела вокруг вертикали достигает максимального значения и вслед за этим моментом начнет убывать, оставаясь положительной (тело продолжает вращение вокруг вертикали против часовой стрелки); при этом по-прежнему уменьшается, а растет. Это продолжается до тех пор, пока угловая скорость не обратится в нуль. В этот момент достигают своих минимального и максимального значений соответственно, далее начинает возрастать, а убывать, а тело вращается уже в обратном направлении по часовой стрелке со все возрастающей по модулю угловой скоростью. Убывание и возрастание приведут к тому, что правая часть третьего уравнения системы (6.18) снова обратится в пуль (на рис. 34 траектория снова пересечет плоскость но уже в области отрицательных значений . В этот момент достигается наибольшая по модулю угловая скорость вращения тела по часовой стрелке, и вслед за этим начнется замедление вращения тела; при этом продолжает возрастать, а — убывать. Так продолжается до тех пор, пока не обратится в нуль, когда достигают своих максимального и минимального значений соответственно, а тело изменяет вращение с направления по часовой стрелке на обратное. В дальнейшем картина движения будет периодически повторяться. Описанному циклу движения на рис. 34 соответствует замкнутая траектория. Период колебаний может быть найден из уравнения

В статье [201] рассмотрено движение тяжелого твердого тела типа «кельтского камня» на неподвижной абсолютно шероховатой сфере. Исследованы нелинейные колебания тела в окрестности положения равновесия, при котором оно касается наивысшей точки сферы. Получено, что качественный характер колебании тела на сфере аналогичен рассмотренному в данном пункте характеру колебании тела на плоскости.

Отметим еще, что исследованные выше замечательные эффекты в движении «кельтского камня» рассматривались также в статьях [148, 266].