Главная > Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Тело с острым краем на неподвижной поверхности

1. Стационарные движения диска на абсолютно шероховатой плоскости и их устойчивость.

Рассмотрим динамически симметричное тело, имеющее острый край в форме окружности, центр которой совпадает с центром тяжести тела; ось симметрии тела (перпендикулярна плоскости острого края. Такое твердое тело будем называть диском. В частности, диск может быть породной круглой пластинкой. Рассмотрим движение диска в однородном поле тяжести, предполагая, что он опирается ,на абсолютно шероховатую горизонтальную плоскость одной точкой своего острого края. Эта задача исследована весьма подробно [2, 31, 41, 46. 94, 122, 153, 202, 211, 215, 262, 263, 299]. Изложим адесь основные результаты.

Пусть — масса диска, а — его радиус, А и С — моменты инерции диска относительно главных центральных осей инерции лежащих в плоскости острого края, и оси симметрии соответственно. За дифференциальные уравнения, описывающие движение диска, примем уравнения (1.73), (1.84).

За неподвижную систему координат примем систему координат с началом в некоторой точке опорной плоскости; ось направим вверх. Уравнения опорной плоскости имеют вид

Система координат имеет начало в точке М касания дпска и плоскости, а ее оси параллельны соответствующим осям неподвижной спстемы координат Ориентация в пространстве задается при помощи углов Эйлера (рис. 29). Еще одна подвижная система координат имеет начало в точке М, ее ось направлена по касательной острому краю дпска, направлена вдоль диаметра дпска, а ось имеет то же направление, что и ось Так как для диска то угол а между линией узлов и осью равен поэтому из (1.74) имеем

Условия отсутствия скольжения (1.73) запишутся в виде

Из соотношений (1.77) — (1.80) в случае диска на плоскости следуют такие (кинематические уравнения:

задающие выражения проекций вектора абсолютной угловой скорости тела на соответствующие оси системы координат через углы Эйлера и их производные.

Потенциальная энергия тела задается равенством

а проекции момента силы тяжести относительно осей вычисляются по формулам

Учитывая (4.1), (4.3), (4.5), получаем, что уравнения (1.84) в случае диска принимают вид

Восемь уравнений (4.2), (4.3), (4.6) представляют собой замкнутую систему дифференциальпых уравнений, описывающую движение диска; интегрирование этой системы дает величины функции времени, полпостью определяющие положение диска в пространстве.

Получеипая система уравнений имеет интеграл энергии

Уравнения движения допускают частное решение вида

где постоянные связаны соотношением

Решение (4.8) отвечает стационарному движению, при котором угол между плоскостью острого <края диска и горизонтально плоскостью постоянен. При этом угловая скорость собственного вращения диска и угловая скорость его прецессии также постоянны и определяются равенствами

Если то уравнение (4.9) имеет два решения:

Для обоих решений плоскость диска вертикальна. В движении, отвечающем первому решению, диск вращается с произвольной угловой скоростью вокруг своего неподвижного вертикального диаметра; второе решение соответствует качению диска вдоль прямой, при этом угловая скорость вращения диска вокруг его оси симметрии произвольна.

Если во то равенство (4.9) задает двумерное многообразие стационарных движений диска, в которых Траекторию, вычерчиваемую точкой касания М на оиорпой плоскости, найдем из (4.2), (4.10). Имеем

Отсюда получаем

— произвольные постоянные. Последние равенства показывают, что точка касания М описывает на опорной плоскости окружность, радиус которой равен центр окружности находится в точке При этом центр тяжести диска движется также по окружности. Эта окружность имеет радиус

и лежит в горизонтальной плоскости на высоте над опорной плоскостью с центром на вертикали, проходящей через центр

окружности, описываемой точкой касания М на опорной плоскости. Бели то центр тяжести диска иокоптся.

Задача об устойчивости рассматриваемых стационарных движений диска решена в статьях [41, 46, 122]. Введем возмущения положив

Из (4.3) и (4.6) получаем линеаризованные уравнения возмущенного движения

где введены обозначения

Характеристическое уравнение «системы (4.11) записывается в виде

Необходимое условие устойчивости, состоящее в требовании отсутствия у уравнения (4.12) корней с положительной вещественной частью, записывается в виде «неравенства

или, в развернутой форме,

При невыполнении этого условия стационарное движение диска неустойчиво.

Для получения достаточных условий устойчивости, воспользуемся тем же приемом (из статьи [125]) построения функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения, что и в задаче об устойчивости регулярных прецессий тела вращения в § 3.

Перейдя при помощи первого из уравнений (4.3) к новой независимой переменной — углу , получим из второго и третьего уравнений системы (4.6) два линейных уравнения относительно

функций :

Пусть — два решения этих уравнении, удовлетворяющие условиям: Общее решение системы (4.14) записывается в виде

где — произвольные постоянные. Разрешив последние равенства относительно получим два первых интеграла уравнений (4.14):

На неовозмущенном движении зпачение константы интеграла энергии (4.7) на невозодущенном движении обозначим через

Уравнения возмущенного движения имеют интегралы где — соответствующие левые частл равенств (4.15). Пусть функция Ляпунова равна Найдя из уравнений выражения шеличин через и подставив их в функцию получим Обозначим эту функцию через . Функция Ляпунова V будет определенно положительной относительно тогда и только тогда, когда функция будет зпакоопределенной относительно

Имеем

Здесь производные вычисляются на невозмущенном движении; многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно

Из (4.7) следует, что на невоамущенном движении

Вычислим теперь производные Пользуясь уравнениями (4.14), имеем на невозмущенном движении

Из (4.18) и (4.19) видно, что на невозмущенпом движении производная равна пулю. Поэтому в соответствии с (4.16) — (4.18) имеем

Замечая, что на шевозмущенном движении правая часть равенства (4.19) в точности совпадает с левой частью неравенства (4.13), получаем, что достаточным условием устойчивости стационарных движений даек а будет выполнимость соотношения (4.13) со строгим знаком неравенства.

Рассмотрим условия устойчивости в частных случаях стационарных движений диска, когда его плоскость вертикальна . В случае верчения диска вокруг своего неподвижного вертикального диаметра с угловой скоростью необходимое (с точностью до знака равенства) и достаточное условие устойчивости записывается в виде неравенства

а в случае качения вдоль прямой с угловой скоростью — в виде

Отметим, что при рассмотрении стационарных двпжепий диска мы предполагали, что скольжение отсутствует. Некоторые аспекты задачи об устойчивости стационарных движепий диска с учетом возможности возникновения скольжения рассмотрены в статье [153].

1
Оглавление
email@scask.ru