§ 4. Тело с острым краем на неподвижной поверхности

1. Стационарные движения диска на абсолютно шероховатой плоскости и их устойчивость.

Рассмотрим динамически симметричное тело, имеющее острый край в форме окружности, центр которой совпадает с центром тяжести тела; ось симметрии тела (перпендикулярна плоскости острого края. Такое твердое тело будем называть диском. В частности, диск может быть породной круглой пластинкой. Рассмотрим движение диска в однородном поле тяжести, предполагая, что он опирается ,на абсолютно шероховатую горизонтальную плоскость одной точкой своего острого края. Эта задача исследована весьма подробно [2, 31, 41, 46. 94, 122, 153, 202, 211, 215, 262, 263, 299]. Изложим адесь основные результаты.

Пусть — масса диска, а — его радиус, А и С — моменты инерции диска относительно главных центральных осей инерции лежащих в плоскости острого края, и оси симметрии соответственно. За дифференциальные уравнения, описывающие движение диска, примем уравнения (1.73), (1.84).

За неподвижную систему координат примем систему координат с началом в некоторой точке опорной плоскости; ось направим вверх. Уравнения опорной плоскости имеют вид

Система координат имеет начало в точке М касания дпска и плоскости, а ее оси параллельны соответствующим осям неподвижной спстемы координат Ориентация в пространстве задается при помощи углов Эйлера (рис. 29). Еще одна подвижная система координат имеет начало в точке М, ее ось направлена по касательной острому краю дпска, направлена вдоль диаметра дпска, а ось имеет то же направление, что и ось Так как для диска то угол а между линией узлов и осью равен поэтому из (1.74) имеем

Условия отсутствия скольжения (1.73) запишутся в виде

Из соотношений (1.77) — (1.80) в случае диска на плоскости следуют такие (кинематические уравнения:

задающие выражения проекций вектора абсолютной угловой скорости тела на соответствующие оси системы координат через углы Эйлера и их производные.

Потенциальная энергия тела задается равенством

а проекции момента силы тяжести относительно осей вычисляются по формулам

Учитывая (4.1), (4.3), (4.5), получаем, что уравнения (1.84) в случае диска принимают вид

Восемь уравнений (4.2), (4.3), (4.6) представляют собой замкнутую систему дифференциальпых уравнений, описывающую движение диска; интегрирование этой системы дает величины функции времени, полпостью определяющие положение диска в пространстве.

Получеипая система уравнений имеет интеграл энергии

Уравнения движения допускают частное решение вида

где постоянные связаны соотношением

Решение (4.8) отвечает стационарному движению, при котором угол между плоскостью острого <края диска и горизонтально плоскостью постоянен. При этом угловая скорость собственного вращения диска и угловая скорость его прецессии также постоянны и определяются равенствами

Если то уравнение (4.9) имеет два решения:

Для обоих решений плоскость диска вертикальна. В движении, отвечающем первому решению, диск вращается с произвольной угловой скоростью вокруг своего неподвижного вертикального диаметра; второе решение соответствует качению диска вдоль прямой, при этом угловая скорость вращения диска вокруг его оси симметрии произвольна.

Если во то равенство (4.9) задает двумерное многообразие стационарных движений диска, в которых Траекторию, вычерчиваемую точкой касания М на оиорпой плоскости, найдем из (4.2), (4.10). Имеем

Отсюда получаем

— произвольные постоянные. Последние равенства показывают, что точка касания М описывает на опорной плоскости окружность, радиус которой равен центр окружности находится в точке При этом центр тяжести диска движется также по окружности. Эта окружность имеет радиус

и лежит в горизонтальной плоскости на высоте над опорной плоскостью с центром на вертикали, проходящей через центр

окружности, описываемой точкой касания М на опорной плоскости. Бели то центр тяжести диска иокоптся.

Задача об устойчивости рассматриваемых стационарных движений диска решена в статьях [41, 46, 122]. Введем возмущения положив

Из (4.3) и (4.6) получаем линеаризованные уравнения возмущенного движения

где введены обозначения

Характеристическое уравнение «системы (4.11) записывается в виде

Необходимое условие устойчивости, состоящее в требовании отсутствия у уравнения (4.12) корней с положительной вещественной частью, записывается в виде «неравенства

или, в развернутой форме,

При невыполнении этого условия стационарное движение диска неустойчиво.

Для получения достаточных условий устойчивости, воспользуемся тем же приемом (из статьи [125]) построения функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения, что и в задаче об устойчивости регулярных прецессий тела вращения в § 3.

Перейдя при помощи первого из уравнений (4.3) к новой независимой переменной — углу , получим из второго и третьего уравнений системы (4.6) два линейных уравнения относительно

функций :

Пусть — два решения этих уравнении, удовлетворяющие условиям: Общее решение системы (4.14) записывается в виде

где — произвольные постоянные. Разрешив последние равенства относительно получим два первых интеграла уравнений (4.14):

На неовозмущенном движении зпачение константы интеграла энергии (4.7) на невозодущенном движении обозначим через

Уравнения возмущенного движения имеют интегралы где — соответствующие левые частл равенств (4.15). Пусть функция Ляпунова равна Найдя из уравнений выражения шеличин через и подставив их в функцию получим Обозначим эту функцию через . Функция Ляпунова V будет определенно положительной относительно тогда и только тогда, когда функция будет зпакоопределенной относительно

Имеем

Здесь производные вычисляются на невозмущенном движении; многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно

Из (4.7) следует, что на невоамущенном движении

Вычислим теперь производные Пользуясь уравнениями (4.14), имеем на невозмущенном движении

Из (4.18) и (4.19) видно, что на невозмущенпом движении производная равна пулю. Поэтому в соответствии с (4.16) — (4.18) имеем

Замечая, что на шевозмущенном движении правая часть равенства (4.19) в точности совпадает с левой частью неравенства (4.13), получаем, что достаточным условием устойчивости стационарных движений даек а будет выполнимость соотношения (4.13) со строгим знаком неравенства.

Рассмотрим условия устойчивости в частных случаях стационарных движений диска, когда его плоскость вертикальна . В случае верчения диска вокруг своего неподвижного вертикального диаметра с угловой скоростью необходимое (с точностью до знака равенства) и достаточное условие устойчивости записывается в виде неравенства

а в случае качения вдоль прямой с угловой скоростью — в виде

Отметим, что при рассмотрении стационарных двпжепий диска мы предполагали, что скольжение отсутствует. Некоторые аспекты задачи об устойчивости стационарных движепий диска с учетом возможности возникновения скольжения рассмотрены в статье [153].