ГЛАВА 4. ТВЕРДОЕ ТЕЛО НА НЕПОДВИЖНОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ

§ 1. Тяжелый шар на плоскости при наличии трения

Рассмотрим шар, движущийся в однородном поле тяжести по неподвижной горизонтальной плоскости. Пусть геометрический центр и центр тяжести шара совпадают, а центральный эллипсоид инерции является сферой. Радиус шара обозначим через а, а массу — через . Для рассматриваемого шара все оси, проходящие через центр тяжести, будут главными осями; момент инерции шара относительно его диаметра обозначим черев Кинетический момент шара К относительно центра тяжести коллинеарен вектору угловой скорости шара причем

Движение отнесем к неподвижной системе координат с началом в некоторой точке О неподвижной плоскости, по которой движется шар; ось направим вертикально вверх. Угловую скорость шара представим в виде где — горизонтальная вертикальная составляющие угловой скорости; — единичные векторы осей Пусть — вектор скорости центра шара, а — скорость точки М шара, которой он касается неподвижной опорной плоскости при своем движении. Так как а

то

Движение рассматриваемого шара по плоскости изучено в работах [2, 87, 155, 156, 216, 235, 281—283]. Движение существенно зависит от характера взаимодействия шара с опорной плоскостью. Случай, когда отсутствует тренпе качения и верчения, а плоскость абсолютно шероховатая (скорость и точки касания во все время движения равна нулю), рассмотрен в § 2 гл. 3. В данном параграфе сначала на основании упомянутых работ будет рассмотрено движение шара с учетом сухого трения скольжения, трения верчения и трения качения, а затем будет кратко исследовано движение шара при наличии вязкого трения.

1. Движение шара под действием сухого трения скольжения.

Пусть скорость и точки касания отлична от нуля. Пренебрегая,

как обычно, трением качения и верчения, будем считать, что действие опорной плоскости на движущийся шар сводится только к реакции плоскости где нормальная реакция, сила сухого трения. Обозначая через коэффициент трения скольжения, имеем

Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента дают два векторных уравнения:

Здесь — вектор ускорения свободного падения. Приравняв вертикальные составляющие в левой и правой частях уравнений (1.4), (1.5), получим

Таким образом, проекция угловой скорости шара на вертикаль постоянна во все время движения, а нормальная реакция плоскости равна весу шара. Горизонтальные составляющие векторов удовлетворяют уравнениям

Продифференцировав выражение для и из (1.1) по времени и воспользовавшись уравнениями (1.7), (1.8), получим

Отсюда следует, что направление скорости скольжения и во все время скольжения остается постоянным, а модуль этой скорости уменьшается со временем по закону

где — начальное значение скорости скольжения.

Из уравнения (1.7) теперь следует, что центр шара движется с постоянным ускорением, имеющим модуль и направление, противоположное начальному вектору скорости скольжения Представим радиус-вектор центра шара в виде где — вертикальная и горизонтальная составляющие Тогда из (1.7) получаем

Отсюда видно, что если вектор начальной скорости центра шара не коллинеарен вектору начальной скорости скольжения то в течение всего времени, пока происходит скольжепие, центр шара движется по параболе, ось которой направлена противоположно вектору .

Из уравнения (1.8) с учетом того, что вектор постоянен во все время скольжения, находпм зависимость горизонтальной составляющей угловой скорости от времени:

Таким образом, при скольжении угловое ускорение шара пмеет постоянный модуль, равный и постоянное направление, ортогональное вектору

Скольжение шара будет длиться до момента времени, равного когда скорость скольжения и обращается в нуль. Из (1.10) получаем

Соответствующие этому моменту времени векторы ортогональны и согласно (1.1) (1.12), (1.13) определяются равенствами

Покажем, что при скорость скольжения и всегда остается равной нулю. В самом деле [155], пусть в момент скорость и не равна нулю. Будем уменьшать начиная с момента Тогда из уравнения (1.9), имеющего силу при следует, что с уменьшением скорость и увеличивается; таким образом, при мы получили бы значение и, отличноо от нуля. С другой стороны, если скольжение отсутствует то согласно § 2 гл. 3 движение шара происходит так, что сила трения равна пулю, т. е. меньше Следовательно, условия (2.4) гл. 1 допустимости качения тела по поверхности выполнены.

Таким образом, движение центра шара по параболе длится до тех пор, пока скорость центра шара не принимает направления, перпендикулярного начиная с этого момента, шар катится без скольжения; центр шара движется прямолинейно со скоростью угловая скорость шара постоянна, ортогональна и равна

Из (1.1) и (1.12) следует такое выражение для производной величины времени:

Отсюда видно, что во время скольжения шара его угловая скорость или всегда убывает, или всегда возрастает, или убывает

до минимального значения, а затем возрастает; угловая скорость не может только возрастать до какого-то максимального значения, а затем убывать.

Остановимся еще на частном случае движения шара, когда коллинеарны, или, что то же самое, когда ортогональны. Согласно (1.11) в этом частном случае вектор скорости центра шара всегда коллинеарен вектору центр шара движется по прямой, увеличивается пли уменьшается и вектор может даже, пройдя через значение, равное пулю, изменить свое направление на противоположное. При происходит чистое качение шара вдоль прямой в направлении вектора или в противоположном направлении со скоростью определяемой из (1.14):

где верхний и нпжиий знаки отвечают соответственно случаям, когда кратчайший поворот (на угол вектора к вектору происходит по часовой и против часовой стрелки. При шар катится в направлении вектора либо в противоположном направлении в зависимости от того, будет ли значение определяемое формулой (1.15), положительным пли отрицательным.

Исследование более сложной задачи о двпжеппи шара по наклонной плоскости при наличии сухого трения скольжения изложено в [100, 155, 156].