4. Тяжелый шар на неподвижном сфере.

Пусть поверхность, по которой движется шар, будет сферой радиуса Пусть - система координат с началом в центре этой сферы и ось направлена вертикально вверх. Имеем

Уравнения связей (2.26) будут выглядеть так:

Задаваемые формулами (2.24) величины проекций угловой скорости шара на оси и на направление нормалп к неподвижной сфере, проведенной через точку М ее соприкосновения с движущимся шаром, будут такими:

Разрешив равенства (2.27) относительно , получим

и выражения для из (2.28) могут быть записаны в виде

Используя выражение для потенциальной энергии шара

найдем входящие в уравнения движения (2.25) проекции момента внешних сил (в рассматриваемой задаче — силы тяжести) на оси нормаль к сфере. Имеем такое выражение для элементарной работы силы тяжести за время

Преобразуем это выражение, опираясь на соотношения (2.27), (2.28). Получим

Отсюда следует, что

Из (2.28) и (2.30) следуют такие легко проверяемые равенства:

Сложим первое уравнение из (2.25), умноженное на со вторым уравнением, умноженным на затем сложим

первое уравнение, умноженное на со вторым уравнением, умноженным на Преобразовав полученные суммы при помощи формул присоединив к ним упрощенное при помощи (2.28) третье уравнение из (2.25), получим следующие три дифференциальные уравнения, эквивалентные системе (2.25) и описывающие движение без скольжения шара по неподвижной сфере:

Уравнения (2.35) допускают следующие первые интегралы:

Здесь введены обозначения

Смысл последних двух интегралов очевиден. Интеграл есть питеграл энергии, выражает тот факт, что проекция на вертикаль кинетического момента шара относительно точки касания его поверхности с неподвижной сферой постоянна во все время движения.

Наличие интегралов (2.36) — (2.39) дает возможность произвести полное интегрирование системы уравнений (2.35). Для интегрирования исключим из (2.36), (2.37) величину сделаем замену Получим

Полином третьей степепи принимает положительные значения при отрицательные при (если ) и положительные при некоторых значениях х, лежащих между и так как в реально существующем движении имеет действительные значения. Отсюда следует, что полином имеет три вещественных корня удовлетворяющих условию Для интегрирования

уравнения (2.40) введем переменную согласно равенству

Подставив (2.41) в (2.40), после необходимых преобразований получим дифференциальное уравнепие

где для краткости записи введена величина х, удовлетворяющая условиям

Уравиеппе (2.42) можно записать в виде

Таким образом, задача о нахождении переменной свелась к обращению эллиптического интеграла. Если принять, что при то из последнего уравнения и из (2.41) получим

Это соотношение дает как функцию времени. Переменная может быть теперь найдена из интеграла (2.37) при помощи квадратур. След, вычерчиваемый точкой касания на неподвижной сфере, будет лежать между параллелями . В частном случае, когда он вырождается в параллель

Отметпм, что питегралы (2.36) — (2.39) имеют тот же вид, что и классические интегралы в задаче о движении тяжелого твердого тела в случае Лагранжа [2]. Рассматриваемая задача о движении без скольжения шара по неподвижной сфере радиуса вырождается в классическую задачу о «волчке Лагранжа» при Подробное исследование движения шара по сфере содержится в книгах [43, 100, 138, 156, 188].

Следуя [20], рассмотрим вопрос об устойчивости в случае движения шара, аналогичного «спящему волчку Лагранжа»: шар вращается с постоянной угловой скоростью по вокруг вертикали, проходящей через его центр и наивысшую точку неподвижной сферы. Этому движению отвечает частное решение уравнений (2.35) вида

Устойчивость будем рассматривать по отношению к переменным

Пусть в возмущенном движении

Для исследования воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости, построив функцию Ляпунова V по методу Четаева в форме связки первых интегралов [208]. Пусть

где — вещественные постоянные. Если их можно выбрать так, чтобы функция V была знакоопределенной, то рассматриваемое движение шара будет устойчивым. Отбросив в функции аддитивную постоянную, получим

Рассматривая функцию V как сумму трех квадратичных форм: первой относительно второй относительно и третьей относительно получаем условие ее знакоопределенности в виде трех неравенств:

Первому из этих неравенств можно удовлетворить выбором вещественного X, если выполняется условие

Если такой выбор к сделай, то второе и третье из неравенств могут быть удовлетворены, если положительную величину взять превосходящей критическое значение, определяемое третьим из неравенств (2.43).

Таким образом, неравенство (2.44) является достаточным условием устойчивости. Если через А обозначить момент инерции шара относительно его дпаметра. то условие (2.44) запишется в виде неравенства

которое при R = 0 переходит в условие Мапевского. Если шар однородный, то достаточным условием устойчивости будет

выполнение неравенства