3. Интеграл Желле.

Пусть динамически симметрпчпое тело движется в однородном поле тяжести по неподвижной горизонта тьной плоскости. Центр тяжести тела лежит на оси симметрии. Характер взаимодействия тела и опорной плоскости не конкретизируем; предполагаем только, что воздействие плоскости на тело сводится к одной силе — реакции приложенной в точке М касания тела и плоскости. Пусть участок поверхности тела, точками которого тело при своем движении касается плоскости, является сферическим с радиусом, равным причем центр этой сферы лежит на оси симметрии. Пусть

— система коордипат, образованная главными центральными осями инерции тела; ось паправлепа по оси

симметрии. Координатами центра сферического участка поверхности будут величины ; направление оси выберем таку чтобы величина а была положительной.

Пусть та — масса тела, А и С — моменты инерции тела относительно осей , а - компоненты соответственно векторов угловой скорости тела, скорости его центра тяжести и направленного вверх единичного вектора вертикал в системе координат Координаты точки касания М задаются равенствами

Из теорем об изменении количества и момента количеств движения и кинематических уравнений Пуассона следуют такие дифференциальные уравнения:

Непосредственная проверка показывает, что в силу (2.10), (2.12), (2.13) производная по времени скалярного произведения кинетического момента и радиуса-вектора точки касания относительно центра тяжести тождествепно равна нулю. Это означает, что в рассматриваемой задаче существует интеграл

Этот интеграл получен впервые в [254] и называется интегралом Желле. Используя (2.10), его можпо записать в виде

где — произвольная постоянная.