§ 2. Движение тела сферической формы по неподвижной поверхности

1. Тяжелый однородный шар на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.

Пусть однородный шар движется без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Движение происходит в однородном поле тяжести. Массу шара обозначим через радиус — через Для исследования движения шара возьмем неподвижную систему координат с началом в некоторой точке О опорной плоскости; ось направим вертикально вверх. Пусть М — точка касания шара и плоскости, координаты центра шара. В системе координат скрость центра шара и вектор задаются компонентами . Пусть — вектор угловой скорости шара; его компоненты в системе координат обозначим через со, Условие отсутствия скольжения (1.4) запишется в виде двух скалярных равепств:

Для описания движения шара используем уравнения Аппеля, приняв в качестве псевдоскоростей величины

Главные центральные моменты инерции шара одинаковы и равны Выражение (3.28) гл. 1 для энергии ускорений шара принимает вид

Продифференцировав обе части равенств (2.1) по времени и воспользовавшись соотношениями (2.2), получим

Выражение (2.3) для теперь можно записать в виде

Единственная активная сила, приложенная к шару, — сила тяжести — не совершает работы при движении шара, поэтому все обобщенные силы соответствующие псевдокоординатам я; равны нулю.

Уравнения Аппеля

дают т. е., согласно (2.2), величины постоянны. Таким образом, вектор угловой скорости со во все время движения шара постоянен в неподвижной системе координат , следовательно, в любой жестко связанной с шаром подвижной системе координат.

Так как величины постоянны, то следует, что величина скорости центра шара постоянна по величине.

Рис. 30

Направление также постоянно и перпендикулярно вектору со. Если то шар находится в режиме чистого верчения вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью центр шара при этом неподвижен.

Ввиду того что вектор постоянен в абсолютном пространстве, левая часть уравнения (1-2) равна нулю. Приравнивая нулю правую часть этого уравнения, получаем, что при движении шара нормальная реакция плоскости равна весу шара, а спла трения равна нулю. Если со , то след точки М касания на плоскости — прямая линия, а на поверхности шара — окружность радиуса плоскость которой перпендикулярна и находится от центра шара на постоянном расстоянии (рис. 30); величины и определяются начальными условиями. При оба следа вырождаются в точки.

Кратко рассмотрим движение однородного шара по абсолютно шероховатой плоскости, вращающейся вокруг заданной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Если последнюю обозначить через то условия отсутствия скольжения запишутся в виде равенств

В качестве величин примем две проекции скорости центра шара на оси и проекцию абсолютной угловой скорости шара на вертикаль:

Если в выражении для энергии ускорений отбросить величины, не зависящие от ям то получим

Все обобщенные силы равны нулю. Третье из уравненпй Аппеля дает

т. е., как и в случае неподвижной опорной плоскости, угловая скорость вращения шара вокруг вертикали постоянна.

Первые два из уравнений Аппеля имеют вид

При общее решение этих уравнений имеет вид

где — постоянные величины, определяемые по начальным условиям.

Таким образом, при центр шара в неподвижной системе координат движется по окружности радиуса с центром в точке (в частном случае, когда центр шара покоится). Угловая скорость движения центра шара постоянна и равна она не зависит от радиуса и массы шара, а также от начальных условий движения и полностью определяется величиной угловой скорости вращения опорной плоскости.