§ 4. Основные теоремы динамики

Рассмотрим движение некоторой системы материальных томен относительно неподвижной системы координат Когда система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если отбросить наложенные на систему связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Разобьем все силы, приложенные к системе, на внешние и внутренние; в те и другие могут входить реакции отброшенных

связей. Через и обозначим главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки А.

1. Теорема об изменении количества движения. Если — количество движения системы, то (см. [188])

т. е. справедлива теорема: производная по времени от количества движения системы равняется главному вектору всех внешних сил.

Заменяя вектор через его выражение где — масса-системы, — скорость центра масс, уравнению (4.1) можно придать другую форму:

Это равенство означает, что центр масс системы движется, как материальная точкащ масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, геометрически равная главному вектору всех внешних сил системы. Последнее утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции) системы.

Если то из (4.1) следует, что вектор количества движения постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных первых интеграла, дифференциальных уравнений двнзкепня системы:

Эти интегралы носят назвапие интегралов количества движения. При скорость центра масс постоянна, т. е. он движется равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо одну ось, например на ось равна нулю, то имеем один первый интеграл или если же равны нулю» две проекции главного вектора, то существует два интеграла количества движения.

2. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А — некоторая произвольная точка пространства (движущаяся или неподвижная), которая не обязательно совпадает с какой-либо определенной материальной точкой системы во все время движения. Ее скорость в неподвижной спстеме координат обозначим через Теорема об изменении кинетического момента материальной системы относительно точки А имеет вид [188]

Если точка А неподвижна, то и равенство (4.3) принимает более простой вид:

Это равенство выражает теорему об пзмепении кинетического момента системы относительно неподвижной точки: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно некоторой неподвижной точки, равняется главному моменту всех внешних сил относительно этой точки.

Если то согласно (4.4) вектор кинетического момента постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений двпжеиия системы:

Эти интегралы посят название интегралов кинетического момента или интегралов площадей.

Если точка А совпадает с центром масс системы, то Тогда первое слагаемое в правой части равенства (4.3) обращается в нуль и теорема об изменении кинетического момента имеет ту же форму записи (4.4), что и в случае неподвижной точки А. Отметим (см. п. 4 § 3), что в рассматриваемом случае абсолютный кинетический момент системы в левой части равенства (4.4) может быть заменен равный ему кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс.

Пусть — некоторая неизменная ось пли ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы, а — кинетический момент системы относительно этой оси. Из (4.4) следует, что

где — момент внешних сил относительно оси . Если во все время движения то имеем первый интеграл

В работах С. А. Чаплыгина [203, 204] получено несколько обобщений теоремы об изменении кинетического момента, которые применены затем при решении ряда задач о качении шаров. Дальнейшие обобщения теоремы об изменении кпнетпческога момента и их приложения в задачах дннамики твердого тела содержатся в работах [13, 14, 81, 138, 182—185]. Основные результаты этих работ связаны с теоремой об изменении кинетического момента относительно подвижной , постоянно проходящей через некоторую движущуюся точку А. Пусть — единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Умножив скалярно на обе части равенства (4.3) и добавив к его обепм частям слагаемое получим

При выполнении кинематического условия [81]

из (4.7) следует уравнение (4.5). И если во все время движения и выполняется условие (4.8), то существует первый интеграл (4.6).

Если связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения системы как твердого тела вокруг оси и, то главный момент реакций относительно оси и равен нулю [188], и тогда величина в правой части уравнения (4.5) представляет собой главный момент всех внешних активных сил относительно оси и. Равенство нулю этого момента и выполнимость соотношения (4.8) будут в рассматриваемом случае достаточными условиями для существования интеграла (4.6).

Если направление оси и неизменно то условие (4.8) запишется в виде [138]

Это равенство означает, что проекции скорости центра масс и скорости точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой являются параллельными. В работе С. А. Чаплыгина [203] вместо (4.9) требуется выполнение менее общего условия где X — произвольная постоянная величина.

Заметим, что условие (4.8) не зависит от выбора точки на . Действительно [185], пусть Р — произвольная точка на оси . Тогда

и, следовательно,

В заключение отметим геометрическую интерпретацию Резаля уравнений (4.1) и (4.4): векторы абсолютных скоростей концов векторов и равны соогвегственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил относительно точки А.

3. Теорема об изменеиии кинетической энергии. Между изменением кинетической энергии системы и работой сил, приложенных к точкам системы, существует связь, устанавливаемая теоремой об изменении кинетической энергии: дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внутренних и внешних сил системы, совершенных на соответствующих действительных перемещениях точек системы. т. е.

Если все силы системы потенциальны и потенциал П не зависит от времени, то элементарная работа сил системы будет

полным дифференциалом: . В этом случае полная механическая энергия системы Е = Т + П постоянна,. т. е. имеет место первый интеграл дифференциальных уравнений движения

Следует иметь в виду, что для существования интеграла (4.11) требование о том, чтобы все силы были потенциальными, не является необходимым: достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительных перемещениях системы отлична от нуля. Например, если связи системы идеальные и стационарные, то работа реакций связей на действительных перемещениях равна нулю; если активные силы имеют не зависящий от времени потенциал, то существует интеграл энергии (4.11).

Для твердого тела работа внутренних сил равна нулю и равенство (4.10) (принимает вид

Работа внешних сил приложенных к твердому телу, вычисляется по формуле

где — главный вектор, а -главный момент внешних сил относительно полюса — скорость полюса, — угловая скорость тела, — бесконечно малый промежуток времени, отвечающий тем бесконечно малым перемещениям точек системы, на которых вычисляется работа.