§ 6. Движение Эйлера — Пуансо

1. Уравнения движения и их интегралы. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О, полагая, что момент внешппх сил относительно этой точки равен нулю. Будем считать, что оси жестко связанной с телом системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела для точки О. Дифференциальными уравнениями движения тела будут динамические уравнения Эйлера:

Здесь А, В и С - (моменты инерции тела относительно осей — проекции вектора мгновенной угловой скорости тела на эти оси.

Уравнения (6.1) должны быть дополнены кинематическими уравнениями Эйлера:

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции получила аналитическое решение в трудах Эйлера [237], в честь которого такого рода движение твердого тела носит название движения в случае Эйлера. В этом параграфе излагаются необходимые в дальнейшем сведения об этом случае движения твердого тела [2, 25, 37, 54, 99].

Так как момент внешних сил относительно точки О равен нулю, то, согласно теореме об изменении кинетического момента, кинетический момент тела К относительно этой точки постоянен в неподвижной спстеме координат Следовательно, длипа вектора К постоянна, т. е. уравнения (6.1) имеют первый интеграл:

Принимая неподвижную точку О тела за полюс, из (4.13) получаем, что работа внешних сил в случае Эйлера равна нулю. Поэтому из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что постоянна и кинетическая энергия тела, т. е. существует еще один первый интеграл уравнений (6.1):

2. Перманентные вращения. Уравнения (6.1) допускают частные решения, отвечающие вращениям твердого тела с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через неподвижную точку О. Такие оси называют перманентными осями

врашения, а сами движения — перманентными вращениями. Перманентными осями вращения являются главпые оси эллипсоида инерции тела для неподвижной точки.

Если величины А, В и С различны, то существует три пермапентных вращения, которые отвечают вращениям тела вокруг осей и и описываются формулами:

При этом перманентное вращение устойчиво, если оно происходит вокруг наибольшей или наименьшей оси эллипсоида инерции тела для точки О:

Перманентное вращение, происходящее вокруг средней оси эллипсоида инерции, неустойчиво.

Если две из величин А, В и С равны одна другой, т. е. тело динамически симметрично, то существует бесчисленное множество перманентных осей вращения. Если, например, то такими осями будут, во-первых, ось и, во-вторых, любая ось, лежащая в экваториальной плоскости эллипсоида иперцпи и проходящая через точку О. Вращение вокруг устойчиво, а вращения вокруг осей, лежащих в плоскости неустойчивы.

Если то перманентной осью вращения будет любая ось неизменного направления, проходящая через неподвижную точку О. Соответствующие перманентные вращения устойчивы.

3. Геометрическая интерпретация Пуансо. Пуансо [277] дал следующее [27] геометрическое толкование движения твердого тела в случае Эйлера:

Эллипсоид инерции для неподвижной точки во время движения катится без скольжения по одной из своих касательных плоскостей. Эта плоскость перпендикулярна вектору кинетического момента тела и остается неподвижной в пространстве. Мгновенная угловая скорость по величине пропорциональна радиусу-вектору точки касания, а по направлению с ним совпадает.

Рис. 4

Эта знаменитая теорема носпт название (первой) геометрической интерпретации Пуансо, а часто и само движение твердого тела называют движением Эйлера — Пуансо.

На рис. 4 показан эллипсоид пнердпи твердого тела, катящийся по плоскости , упоминаемой в интерпретации Пуансо. Эта плоскость касается эллипсоида в точке Р, она перпендикулярна неизменному вектору кинетического момента К и отстоит

от центра эллипсоида на постояппом расстоянии равном При движении точка Р описывает на эллипсоиде инерции кривые, называемые полодиями; соответствующие кривые на плоскости Пуансо называются герполодиями. Характер полодий и герполодий существенно зависит от величин моментов инерции А, В, С и постоянных К и Т интегралов (6.3) и (6.4).

Мгновенная ось вращения может с течением времени изменять свое положение и в пространстве, и в движущемся теле.

Рис. 5

Она описывает в пространстве коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке О; эта поверхность называется подвижным аксоидом, или конусом герполодии. Аналогичная поверхность в движущемся теле называется подвижным аксоидом, или конусом полодии.

4. Аналитическое представление решения динамических уравнений Эйлера. Пусть величины А, В и С различны. Для определенности будем считать, что выполняются неравенства

Тогда при любых К и Т имеем неравенства Качественная картина расположения полодий представлена на рис. 5. Эта картина симметрична относительно главных плоскостей эллипсоида инерции. Возможны три различных случая.

1) . В этом случае полодии охватывают наибольшую ось эллипсоида инерции. В областях решение уравнений (6.1) выражаются через эллиптические функции Якоби [55] соответственно в виде

и

В формулах (6.8) или (6.9) одновременно берутся либо только верхние, либо только нпжиие знаки и введено обозначение

где произвольная постоянная. Модуль эллиптических функций в формулах (6.8) и (6.9) определяется формулой

Направление движения точки Р по полодиям показано на рис. 5 стрелками. Если то полодии в областях вырождаются в точки, являющиеся вершинами эллипсоида инерции, лежащими на оси Эти точки отвечают перманентным вращениям тела, для которых

2) В этом случае полодии охватывают наименьшую ось эллипсоида инерции и лежат в областях III IV на рис. 5. Если то полодии вырождаются в точки, являющиеся вершинами эллипсоида инерции, лежащими на оси соответствующими перманентпым вращениям тела, для которых

Введем обозначения для модуля эллиптических функции и переменной

Тогда в областях III и IV решения уравнений (6.1) будут соответственно такими:

и

В формулах (6.13) пли (6.14) одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

3) . В этом случае полодии лежат в плоскостях

проходящих через среднюю по величине ось эллипсоида инерции и разбивающих поверхность эллипсоида на области I—IV с различным характером поведения полодпй. Совокупность полодий, отвечающих рассматриваемому случаю, образована двумя точками, совпадающими с вершинами эллипсоида инерции, лежащими на его средней оси и соответствующими неустойчивым

перманентным вращениям тела и четырьмя седаратрисными кривыми, соединяющими эти точки. Последние кривые обозначены на рис. 5 цифрами 1, 2, 3, 4.

Решения уравнений Эйлера (6.1), соответствующие полодиям-сепаратрисам, выражаются через гиперболические функции. Введем обозначение

Тогда на кривой 1

на кривой 2

на кривой 3

на кривой 4

5. Герполодии. Если моменты инерции А, В, С различны, то герполодии представляют собой плоские симметричные кривые, завивающиеся вокруг центра представляющего собой точку пересечения вектора кинетического момента К с неизменной плоскостью (рис. 4). Хотя эти кривые состоят из конгруэнтных частей, они не обязательно замкпуты. Герполодии не имеют ни точек перегиба, ни точек возврата. Вся герполодия заключена между двумя граничными концентрическими окружностями, которых она попеременно касается; моменты касания соответствуют переходу вектора со через главные плоскости эллипсоида инерции. Радиусы граничных окружностей представлены в табл. 1. В случае перманентпых вращении герполодия вырождается в точку Отметим, что для движений тела, отвечающих полодиям-сепаратрисам (случай 3), герполодия будет спиралью, завивающейся вокруг точки так как в этом случае Эта спираль бесконечное число раз обходит точку но ее общая длина конечна, так как она равна длине соответствующей дуги полодии.

6. Вычисление углов Эйлера как функций времени. Если динамические уравнения Эйлера проинтегрированы, то зависимость углов Эйлера от времени может быть найдена путем интегрирования уравнений (6.2). Однако вычисления можно значительно упростить, если воспользоваться постоянством вектора

Таблица 1

кинетического момента К и вььбрать неподвижную систему координат (рис. 2) так, чтобы направление оси совпадало с неизменным направлением вектора К. Тогда

Отсюда сразу определяются два угла Эйлера:

Из (6.2), (6.21) и (6.22) следует, что

Если динамические уравнения Эйлера уже проинтегрированы, то правые части равенств (6.22) и (6.23) будут известными функциями времени, и вопрос об определении углов Эйлера можно считать в принципе решенным.

Движения тела, отличные от перманентных вращений движений, отвечающих сепаратрисам 1—4 на рис. 5, будут двухчастотными. Одна частота является частотой периодических колебапин углов определяемых из (6.22), (6.8), (6.9) пли из (6.22), (6.13), (6.14). Вторая частота есть среднее по времени значение правой части уравнения (6.23).

Если частоты и соизмеримы, т. е. отношение будет рациональным числом, то говорят, что имеет место резонансный случай; в этом случае движение тела в пространстве будет периодическим. Если же частоты несоизмеримы (нерезонансный случай), то движение тела в пространстве будет овнотпериодическим.

7. Случай динамической симметрии, регулярная прецессия.

Пусть два из моментов инерции тела равпы, например . Тогда решенне системы уравнении (6.1) будет таким:

где а индексом нуль обозначены начальные значения соответствующих величии.

Если неподвижную систему координат выбрать, как в предыдущем пункте, направив ось по неизменному вектору К, то получим, что угол угловая скорость прецессии и угловая скорость собственного вращения тела постоянны. Такое движепие тела называется регулярной прецессией. Оно описывается формулами

В случае регулярной прецессии иолодни и герполодии будут окружностями. Для перманентных вращений эти окружности вырождаются в точки.