4. Геометрическая интерпретация усредненного движения.

Сделаем в уравнениях (5.28) замену переменных по формулам

где — косинусы углов между вектором и осями

эллипсоида соответственно. Из (5.28) и (5.34) получим

Таким образом, в первом приближении величины определяющие ориентацию вектора относительно эллипсоида, могут быть вичислены по тем же формулам, что и величины в движении Эйлера — Пуансо, в котором роль времени играет величина

Пусть в неподвижной системе координат вектор кинетического момента тела относительно центра тяжести К имеет компоненты Из теоремы об изменении кинетического момента имеем уравнения

Все компоненты — медленные переменные. Использовав (5.40), получим дифференциальное уравнение для величины К, усреднение правой части которого дает следующее уравнение первого приближения:

Усреднение правой части выражения для производной от кинетической энергии движения относительно центра тяжести дает такое уравнение первого приближения:

Если с нашим реальным эллипсоидом мысленно связать его эллипсоид инерции для центра тяжести, провести через центр тяжести прямую, параллельную вектору со, и через точку пересечения этой прямой с эллипсоидом инерции провести касательную к нему плоскость, то, как и в случае Эйлера — Пуансо, эта плоскость будет перпендикулярна вектору К и будет отстоять от центра эллипсоида на расстоянии . В случае Эйлера — Пуансо Т и К постоянны поэтому постоянна и величина . В рассматриваемом же случае Т и К изменяются со временем. Однако вычисления, использующие уравнения (5.41), (5.42) и близость моментов инерции (5.14), показывают, что с точностью до членов порядка включительно. Поэтому, как и в случае Эйлера — Пуансо, в рассматриваемом случае эллипсоид инерции катится (и вертится) без скольженпя по построенной касательной плоскости, остающейся на неизменном в первом приближении расстоянии от центра эллипсоида. Однако в рассматриваемом случае центр эллипсоида движется согласно уравнениям (5.27) и меняется ориентация вектора К относительно неподвижной системы координат

Получим уравнения, определяющие ориентацию вектора К. Вычисление правой части третьего уравнения из (5.40) с использованием (5.3), (5.11) (5.13) и (5.15) показывает, что она с точностью до членов порядка в включительно равна нулю. Таким образом, в первом приближении проекция вектора кинетического момента К на вертикаль постоянна.

Пусть а — угол между осью и проекцией вектора К на горизонтальную плоскость. Легко видеть, что тогда (см. формулу (9.5) гл. 3)

Заменив здесь на правые части соответствующих уравнений из (5.40) и произведя усреднение, получим следующее уравнение первого приближения: