4. Геометрическая интерпретация усредненного движения.
Сделаем в уравнениях (5.28) замену переменных по формулам
где
— косинусы углов между вектором
и осями
эллипсоида
соответственно. Из (5.28) и (5.34) получим
Таким образом, в первом приближении величины
определяющие ориентацию вектора
относительно эллипсоида, могут быть вичислены по тем же формулам, что и величины
в движении Эйлера — Пуансо, в котором роль времени играет величина
Пусть в неподвижной системе координат вектор кинетического момента тела относительно центра тяжести К имеет компоненты
Из теоремы об изменении кинетического момента имеем уравнения
Все компоненты
— медленные переменные. Использовав (5.40), получим дифференциальное уравнение для величины К, усреднение правой части которого дает следующее уравнение первого приближения:
Усреднение правой части выражения для производной от кинетической энергии движения относительно центра тяжести дает такое уравнение первого приближения:
Если с нашим реальным эллипсоидом мысленно связать его эллипсоид инерции для центра тяжести, провести через центр тяжести прямую, параллельную вектору со, и через точку пересечения этой прямой с эллипсоидом инерции провести касательную к нему плоскость, то, как и в случае Эйлера — Пуансо, эта плоскость будет перпендикулярна вектору К и будет отстоять от центра эллипсоида на расстоянии
. В случае Эйлера — Пуансо Т и К постоянны
поэтому постоянна и величина
. В рассматриваемом же случае Т и К изменяются со временем. Однако вычисления, использующие уравнения (5.41), (5.42) и близость моментов инерции (5.14), показывают, что
с точностью до членов порядка
включительно. Поэтому, как и в случае Эйлера — Пуансо, в рассматриваемом случае эллипсоид инерции катится (и вертится) без скольженпя по построенной касательной плоскости, остающейся на неизменном в первом приближении расстоянии от центра эллипсоида. Однако в рассматриваемом случае центр эллипсоида движется согласно уравнениям (5.27) и меняется ориентация вектора К относительно неподвижной системы координат
Получим уравнения, определяющие ориентацию вектора К. Вычисление правой части третьего уравнения из (5.40) с использованием (5.3), (5.11) (5.13) и (5.15) показывает, что она с точностью до членов порядка в включительно равна нулю. Таким образом, в первом приближении проекция
вектора кинетического момента К на вертикаль постоянна.
Пусть а — угол между осью
и проекцией вектора К на горизонтальную плоскость. Легко видеть, что тогда (см. формулу (9.5) гл. 3)
Заменив здесь
на правые части соответствующих уравнений из (5.40) и произведя усреднение, получим следующее уравнение первого приближения: