2. Геометрические свойства усредненного движения.

Согласно (9.9) величины в первом приближении постоянны. Далее из (9.8) следует, что производная со равна нулю с погрешностью порядка Поэтому, замечая еще, что в (9.8) функция умножается на разности моментов инерции, которые сами являются величинами первого порядка малости, можно, не увеличивая погрешности аппроксимации точных решений приближенными, в функции положить величину со равной Здесь и ниже ипдексом 0 обозначаются начальные значения соответствующих переменных.

Функция обращается в нуль, если между существует соотношение вида (8.29)

что возможно, если одновременно При выполнении равеиства (9.15) вектор со будет в первом приближении постоянен относительно движущегося эллипсоида (и относительно абсолютного пространства).

Пусть Используя интерпретацию Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера, можно дать следующее геометрическое представление движения, описываемого усредненной системой уравнений. Пусть векторы отложены от центра тяжести эллипсоида. При движении по плоскости эллипсоид совершает относительно вектора К движение Эйлера — Пуансо, в котором «временем» является величина

Далее из (9.9) — (9.11) следует, что величины (а следовательно, угол между вектором К и вертикалью) постоянны в первом приближении и что существует интеграл усредненных уравнений движения

Следовательно, вектор К имеет постоянную длину и медленно прецессирует вокруг вертикали, оставаясь от нее на неизменном угловом расстоянии определяемом начальными условиями.

Угловая скорость прецессии определяется третьим уравнений (9.10). Углы связаны соотношением (9.16); в частности, когда т. е. когда след точки касания на опорной плоскости — прямая линия, вектор кинетического момента К движется поступательно со скоростью центра тяжести эллипсоида.

Вместе с вектором К движется воображаемая плоскость (плоскость Пуансо), перпендикулярная К и находящаяся от центра тяжести на постоянном расстоянии — кинетическая энергия движения эллипсоида относительно центра тяжести). Воображаемая поверхность (эллипсоид инерции) катится по этой плоскости без скольжения. Направление описывает на эллипсоиде инерции полодии, а на плоскости Пуансо — герполодии.

Заметим, что из (8.7), (8.13) и (8.14) следует, что точка М соприкосновения рассматриваемого реального эллипсоида и опорной горизонтальной плоскости в каждый момент времени находится в плоскости, задаваемой уравнением

Если пренебречь в (9.17) величинами порядка , то можно утверждать, что эта плоскость находится на постоянном расстоянии от центра тяжести эллипсоида и с течением времени медленно эволюционирует, оставаясь перпендикулярной вектору и тем самым отслеживая движение по конусу полодии.

3. Анализ приближенного решения. Остановимся подробнее на анализе движения, описываемого усредненной системой уравнений (9.8) — (9.12). Пусть Тогда и выполняются неравенства Картина расположения полодий на эллипсоиде инерции представлена на рис. 5. Принято. что если то направление движения вектора показанное на рис. 5 стрелками, изменится на обратное.

Рассмотрим движение для случая, соответствующего расположению полодпй в области 1 (движение для остальных областей рассматривается аналогично). Решение уравнений (9.8) выражается через эллиптические функции Якоби в виде равенств (6.8) гл. 1, в которых только величину определяемую равенством (6.10) гл. 1, надо умножить на постоянный коэффициент зависящий от начальных условий.

Уравнения движения точки касания М по поверхности эллипсоида (7.1) определяются по формулам (8.7), (8.13), (8.14), в которые надо вместо подставить их выражения через эллиптические функции Якоби. Геометрический характер следа

точки М на поверхности эллипсоида удобнее, однако, получить геометрическим же способом, основанном на замечании в конце

Находя след и место его расположения на поверхности эллипсоида с погрешностью порядка можно принять эллипсоид шар радиуса На рис. 38 изображено сечение шара плоскостью, проходящей через отложенный от его центра вектор и ось

Рис. 38

Рис. 39.

Угол а в соответствии с равенствами (6.8) гл. 1 удовлетворяет соотношению

— модуль эллиптических функций, определяемый равенством (6.11) гл. 1.

При перемещении вектора по конусу полодии угол а медленно изменяется между своими минимальным максимальным значениями которые достигаются при прохождении со в плоскостях соответственно (рис. 5), причем согласно (9.18)

На рис. 38 показано также сечение шара радиуса с центром в точке Во время движения эллипсоида плоскость (9.17) касается этого шара. На рис. 38 отрезок есть проекция линии пересечения эллипсоида и плоскости (9.17). При движении эллипсоида точка М быстро перемещается по следу на его поверхности, а проекция точки М быстро движется по отрезку (на рис. 38 от Сам же отрезок медленно прецессирует вокруг оси так как, перемещаясь по конусу полодии, вектор со медленпо вращается вокруг Одновременно отрезок из-за изменения угла а медленно колеблется относительно прецессирующей вместе с оси, перпендикулярной плоскости рис. 38 и проходящей через точку

Из сказанного следует, что точка касания М будет находиться в полосе поверхности эллипсоида, заключенной между двумя граничными кривыми, показанными на рис. 39. Минимальная и максимальная ширина полосы, в которой расположен след точки касания М эллипсоида и плоскости, достигается в плоскостях и и равна соответственно Точки нижней (при меньших значениях на рис. 39) границы полосы, отвечающие ее минимальной и максимальной ширине, отстоят от главного сечения эллипсоида на расстояния соответственно. При движении эллипсоида точка М быстро перемещается в заштрихованной на рис. 39 полосе, попеременно касаясь то одной, то другой граничной кривой. За время порядка указанная полоса будет заполнена густой сетью, описанной следом точки М на поверхности эллипсоида.

Найдем теперь след, вычерчиваемый точкой М на опорной горизонтальной плоскости. Для этого перейдем сначала в уравнении (9.11) к новой независимой переменной — длине дуги следа точки М. Тогда учитывая, что скорость точки М по ее следу с погрешностью порядка равна подставляя из формул (6.8) гл. 1 в уравнение (911) и производя преобразование выражений, содержащих эллиптические функции, получаем в первом приближении

Из (9.19) видно, что если то следом точки касания на плоскости будет в первом приближении) прямая линия. Согласно (9.20), это возможно, когда (например, когда эллипсоид движется по плоскости, касаясь ее своим главным сечением), а также когда между длинами полуосей эллипсоида и начальными значениями существует соотношение, обращающее в нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (9.20).

Пусть Без ограничения общности можно считать, что начальное значение угла равно нулю; тогда из (9.19) получаем

Подставив затем величину из (9.21) в уравнения (8.36), определяющие координаты х, у точки касания М на опорной плоскости и произведя интегрирование этих уравнений и исключение параметра получим, что след точки М лежит на окружности

При положительном к движение точки М по окружности (9.22) происходит против часовой стрелки, а при отрицательном — по часовой.

Рассмотрим частный случай — перманентное вращение вокруг

Согласно (9.17) в этом случае следом точки касания на поверхности эллипсоида будет эллипс, лежащий в сечении эллипсоида (7.1) плоскостью Далее из (9.23) и (9.19) — (9.22) получаем, что если то следом точки касания на опорной плоскости будет прямая линия, а если окружность радиуса Движение точки касания по этой окружности происходит против часовой стрелки при положительной величине и по часовой при отрицательной.