6. Уравнения движения твердого тела с острым краем по абсолютно шероховатой поверхности.

Пусть твердое тело имеет острый край в форме плоской кривой, лежащей в одной из главных центральных плоскостей инерции тела. Выведем, следуя [211, 299]. дифференциальные уравнения движения тела, предполагая, что скольжение отсутствует. Будем считать, что на кривой — остром крае тела — можпо выделить некоторую ее часть — область у — так, чтобы во всех точках у кривая имела касательную и притом только одпу. Аналогично относительно неподвижной поверхности, по которой катится тело, предполагается, что во всех точках некоторой ее части — области Г — можно провести к ней единственную касательную плоскость. Будем рассматривать только такие движения тела, когда точки кривой из области у прпходят в соприкосновепие с точками поверхности из области Г.

Координаты точки неподвижной поверхности из области Г в некоторой неподвижной системе координат выразим через гауссовы координаты или:

причем коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности обозначим, как принято, через и За линии и примем линии кривизны поверхпости; следовательно, .

Пусть — жестко связанная с телом система координат, оси которой направлены вдоль главных центральпых осей инерции тела. Будем считать, что кривая — острый край тела — лежит в плоскости Эту кривую зададим в полярных координатах поместив полюс полярной спстемы координат в центр масс тела и направив полярную ось по положительному направлению оси угол I будем отсчитывать от оси против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси Таким образом,

Введем еще две подвижные системы координат с началом в точке М соприкосновения тела и опорной поверхности: оси которой направим вдоль положительных направлений линий , а ось — по нормали к опорной поверхности, и ось которой направлена по прямой а ось параллельна оси (рис. 29).

Рис. 29

Масса тела равна моменты инерции относительно осей обозначаем, как обычно, через А, В и С.

Положение твердого тела в пространстве будет вполне определено, если мы найдем координаты и. точки М и углы Эйлера определяющие ориентацию тела относительно спстемы координат

Для получения уравнений связей, являющихся условиями отсутствия скольжения, воспользуемся тем, что условие отсутствия скольжения эквивалентно тому, что вектор скорости точки М при ее перемещении по острому краю тела равен вектору скорости ее перемещения по опорной поверхности. Из (1.18) следует, что проекции последнего на линии или будут соответственно Замечая далее, что длина дуги кривой — острого края — вычисляется по формуле

где через обозначена производная по получим при помощи рис. 29 условие отсутствия скольжения в виде

Отметим, что задание I определяет один из углов Эйлера , наоборот, при известном величина определена однозначно. Действительно, пусть а есть угол между линией пересечения плоскости с плоскостью и осью (рис. 29). Тогда

Далее, если — расстояние от центра тяжести до линии то

Из последних двух равенств а определяется как функция угла , а равенство (1.74) позволяет выразить I через или через

Обозначим через проекции вектора угловой скорости со тела относительно неподвижной системы координат на оси Для пахождения величин и представим вектор в виде суммы

где — вектор угловой скорости тела относительно движущейся системы координат а — вектор угловой скорости системы координат относительно неподвижного трехгранника

Проекции вектора на оси вычисляются при помощи кинематических уравнений Эйлера

Отсюда из матрицы направляющих косинусов, задающей ориентацию трехгранника относительно трехгранника

получаем такие выражения для проекций вектора на

Обозначим через проекции вектора на соответствующие оси систем координат и . В соответствии с формулами (1.28) имеем

Теперь из (1.76) и таблицы (1.1) гл. 1 получаем

где выражаются через углы Эйлера по формулам (1.3) гл. 1.

Величины могут быть теперь найдены из (1.77) — (1.79) при помощи соотношений

Для получения дифференциальных уравнении движения твердого тела относительно центра масс воспользуемся уравнениями (1.14) применительно к рассматриваемому случаю тела с острым краем. В этих уравнениях проекции главного момента активных внешних сил относительно точки М касания тела и плоскости на оси

Вычислим еще величины , содержащиеся в уравнениях (1.14).

Из (1.76) вндно, что величины таблицы направляющих косинусов (5.7) гл. 1 таковы: остальные величины тождественно равны нулю. Далее имеем

и из (1.12), (1.15) получаем

Выражение (1.11) для величины принимает вид

И наконец, из соотношений (5.15) гл. 1 получаем, что

Уравнения (1.14) с учетом равенств (1.81) — (1.83) могут быть теперь записаны в виде

Уравнения (1.80), (1.84), (1.73) с учетом определяемой из (1.72), (1.74), (1.75) зависимости угла от и будут искомыми дифференциальными уравнениями движения тела с острым краем по неподвижной поверхности. Интегрирование этих уравнений дает величины как функции времени.