2. Случай, когда точка касания описывает одно из главных сечений эллипсоида.

Уравнения Чаплыгина (1.70) имеют частное решение, в котором

а изменение угла со временем описывается дифференциальным

уравнением второго порядка

Это частное решение отвечает такому движению эллипсоида, когда точка касанпя описывает на его поверхности одно из главных сечений, именно сечение, расположенное в плоскости Уравнение (7.14) имеет первый интеграл

Пусть для определенности Тогда при движение невозможно. Если то эллипсоид находится в положении устойчивого равновесия или при котором он опирается о плоскость «концом» своей меньшей полуоси.

Если то эллипсоид совершает колебания в окрестности устойчивого положения равновесия; этих колебаниях отклонение угла от его равновесного значения не превосходит Следом точки касания на опорной плоскости будет отрезок прямой. Зависимость угла от времени может быть найдена из (7.15) при помощи одной квадратуры. Если колебания малые, то их период Т определяется по формуле

Если то эллипсоид либо находится в положении неустойчивого (при ) равновесия пли котором он опирается о плоскость «концом» своей большей оси, либо совершает асимптотическое к этим положениям движение, когда угол при стремится к или к

И наконец, эллипсоид катится вдоль фиксированной прямой с непостоянной периодической по времени угловой скоростью определяемой

Качественная картина расположения интегральных кривых уравнения (7.14) на плоскости аналогична соответствующей картине для уравнения математического маятника.

Из (7,14) видно, что если эллипсоид динамически симметричен где — постоянные величины. Если то эллипсоид покоится, если же , то эллипсоид катится вдоль прямой, касаясь ее точками своего экваториального сечения (круга); при этом ось симметрии горизонтальна и движется поступательно, а эллипсоид вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью .

Пусть главное сечение эллипсоида плоскостью мало отличается от круга, т. е. эллипсоид близок к симметричному. Положим где малый положительный параметр. Если пренебречь членами выше первого порядка по то одно из решений уравнения (7.14) можно получить в виде

Это решение описывает качение эллипсоида вдоль прямой, мало отличающееся от его равномерного качения с угловой скоростью со.

Исследуем устойчивость движения (7.13), (7.17) по отношению к возмущениям угла нутации и угловой скорости прецессии. Введем возмущения и и положив

Вычисления показывают, что линеаризованные уравнения возмущенного движения в первом приближении по будут иметь вид

где — линейные однородные функции от коэффициенты которых — периодические функции времени с периодом, равным

При характеристическое уравнение системы (7.19) имеет вид

Если выполнено неравенство

то уравнение (7.20) имеет один нулевой и два чисто мнимых корня:

где

Если же неравенство (7.21) выполнено с обратным знаком, то уравнение (7.20) имеет положительный корепь. Таким образом, условие (7.21) в случае симметричного эллипсопда является необходимым (с точностью до знака равенства) условием устойчивости движения (7.13), (7.17). Согласно п. 5 § 3 (см. неравенство (3.62)), условие (7.21) в случае симметричного эллипсоида

будет и достаточным для устойчивости. Отметим, что условие (7.21) заведомо выполнено, если .

Можно показать, что если число не будет целым, то при выполнении условия (7.21) и достаточно малых среди характеристических показателей системы (7.19) не будет характеристического показателя с положительной вещественной частью, и, следовательно, при условии (7.21) для малых качение почти симметричного эллипсоида, описываемое формулами (7.13), (7.17), устойчиво в первом приближении. Если же — целое число, то пмеет место параметрический резонанс, и в области (7.21) при возможно появление неустойчивости.