4. Нормальная форма нелинейных уравнений возмущенного движения.

В переменных уравнения (6.9) примут вид

Здесь

Как и в (6.9), в системе (0.12) отброшены члены выше второго порядка относительно возмущении. Через обозначены квадратичные формы переменных

Для исследования нелинейной системы приведем ее к нормальной форме [17]. Нормализующая замена переменных позволяет оставить в уравнениях движения только те из нелинейных членов, которые определяют качественный характер движения, и исключить несущественные члены. При получении нормальной формы системы (6.12) удобно сначала сделать замену переменных, вводящую две пары комплексно-сопряженных переменных

В переменных линейная часть системы (6.12) имеет диагональную форму и получение нормальной формы сводится просто к выделению резонансных членов из нелинейностей; в правых частях преобразованной системы (6.12). При структура нормальной формы не зависит от квадратичных форм в уравнениях (6.12), или, что то же самое, от квадратичных форм в (6.4). Считая, что получаем следующую нормальную форму системы (6.12), записанную в комплексных переменных:

Введя вещественные полярные координаты согласно формулам

и проведя затем некоторые выкладки, использующие равенства (6.11), (6.13) и уравнение частот (6.10), получим нормализованную систему уравнений возмущенного движения, которая распадается на две независимые подсистемы:

где

В (6.18) отброшены члеиы выше второго, а в (6.19) выше первого порядка относительно .