§ 7. Простейшие случаи движения однородного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости

1. Перманентные вращения.

Пусть твердое тело представляет собой однородный эллипсоид, поверхность которого в системе координат образованной главными центральными осями пнерцнп, задается уравнением

Рассмотрим вопрос о существовании и устойчивости перманентных вращений эллипсоида на неподвижной горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости в однородном поле тяжести.

Координаты точки касания М эллипсоида и плоскости в системе координат выписаны в п. 1 § 5 гл. 2. Имеем

где — направляющие косинусы вертикали в системе выражающиеся через углы Эйлера по формулам

Через в (7.2) обозначено расстояние от центра тяжести эллипсоида до опорной плоскости:

Из (7.2) и формул (1.25) гл. 2 имеем такие выражения для величин

Отсюда следует, что

Моменты инерции эллипсоида относительно осей определяются равенствами (5.6) гл. 2:

На основании (7.2), (7.7) легко проверить, что в случае однородного эллипсоида условие (5.4), которому должны удовлетворять направляющие косинусы осей перманентных вращений, выполняется при любых значениях а условие (5.5) приводится к неравенству

Рассматривая это неравенство совместно с первым из уравнений и используя соотношения (7.6), (7.7) и (1.69), можно получить, что осями перманентных вращении однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости могут только его главные центральные оси инерции; при этом угловая скорость вращения о) может быть произвольной.

Рассмотрим перманентное вращение вокруг Этому вращению отвечает следующее решение уравнений движения

эллипсонда, записанных в форме уравнений Чаплыгина (1.70):

Пусть ось не является осью симметрии аллппсопда; не ограничивая общности, будем считать, что Тогда наибольший и наименьший радиусы кривизны поверхности эллипсоида в точке которой он касается плоскости в невозмущенном движении (7.8), будут равны соответственно, а угол а между осью и линией кривизны, отвечающей равен нулю. Характеристическое уравнение линеаризованных в окрестности (7.8) уравнений возмущенного движения записывается в виде (6.5), где

Так как то ненулевые корни характеристического уравнения удовлетворяют биквадратному уравнению, и в линеаризованной задаче об устойчивости перманентных вращений однородного эллипсоида не обнаруживается явлений, характерных для «кельтских камней»: нет зависимости устойчивости от знака о и отсутствует асимптотическая устойчивость по части перемепных.

Для устойчивости движения (7.8) необходимо потребовать, чтобы выполнялись неравенства

Если — средняя полуось эллипсоида, то при любом ; в этом случае характеристическое уравнение имеет корень с положительной вещественной частью, следовательно, на основании теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению перманентное вращение эллипсоида вокруг средней оси неустойчиво при любой угловой скорости вращения (в том числе и при нулевом значении , отвечающем равновесию эллипсоида).

Пусть — наименьшая полуось эллипсоида. Тогда и система неравенств (7.10) сводится к одному неравенству которое на основании (7.9) приводится к такому эквивалентному ему неравенству:

Последнее неравенство выполняется. Таким образом, для перманентного вращения эллипсоида вокруг наименьшей оси

необходимые условия устойчивости выполняются при любом значении Отметим, что положение равновесия в рассматриваемом случае, когда — наименьшая полуось эллипсоида, устойчиво в строгом нелинейном смысле, а не только в первом приближении, так как (см. условие (5.13)) в этом случае в положении равновесия центр тяжести эллипсоида лежит ниже обоих центров кривизны поверхности эллипсоида

Пусть теперь — наибольшая полуось эллипсоида.

Тогда необходимые условия устойчивости (7.10) запишутся в впде неравенства или

Отсюда следует, что для перманентного вращения эллипсоида вокруг наибольшей полуоси необходимые условия устойчивости выполняются, если величина будет не меньше своего критического значения

Если то перманентное вращение неустойчиво.

Таким образом, мы получили (см. также [146]), что если — наименьшая из полуосей с эллипсоида, то для перманентного вращения (7.8) необходимые условия устойчивости выполняются при любом значении если — средняя полуось, то движение всегда неустойчиво; если же — наибольшая полуосей, то необходимые условия устойчивости выполняются, если модуль угловой скорости будет не меньше критического значения определяемого соотношением (7.11).

Если т. е. ось вращения является осью динамической симметрии эллипсоида, то неравенство (7.11) принимает вид

которое, согласно п. 4 § 3, является не только необходимым, но и (с точностью до знака равенства) достаточным условием устойчивости перманентного вращения эллипсоида вокруг его вертикальной оси симметрии.