4. Устойчивость стационарного вращения тела вокруг вертикали.

Пусть т. е. ось симмметрии отрицательных

значениях пересекает поверхность тела по нормали к последней. В этом случае тело может двигаться так, что

В этом движении тело вращается вокруг своей неподвижной вертикально стоящей оси симметрии с произвольной постоянной угловой скоростью . Рассмотрим устойчивость этого стационарного движения тела.

Необходимые условия устойчивости движения (3.39) получены еще Э. Дж. Раусом [91, 156, 245] та основе анализа корней характеристического уравнения линеаризованных уравнений возмущенного движения. В точной нелинейной постановке устойчивость движении (3.39) «впервые была исследована в статье [159]. Исследования, проведеппые в [159], были продолжены (в работах [44, 45, 123]. В статьях [44, 45] при помощи первых интегралов уравнений возмущенного движения по методу Четаева построена функция Ляпунова и определены необходимые и достаточные условия устойчивости движения (3.39) для динамически симметричного тела сферической формы. В работе [123] аналогичное исследование проведено для произвольного тела вращения; в этой работе достаточные условия устойчивости также получаются при помощи функции Ляпунова, получаемой из первых интегралов по методу Четаева, но в отличие от исследований в статьях [44. 45, 159] явные выражения для интегралов (неизвестны.

Полученные в [44, 45, 123] условия устойчивости стационарного вращения вокруг вертикально направленной оси симметрии для произвольного тела вращения и тела вращения со сферическим основанием полностью совпадают. Связано это с тем, что в указанных работах вопрос об устойчивости решался с помощью исследования корней характеристического уравнения, а также с помощью функции Ляпунова. При этом в функции Ляпунова используются только члены низших степеней в ее разложении в ряд по малым отклонениям от стационарного движения. Поэтому можно ограничиться рассмотрением уравнения поверхности тела в связанной системе координат в окрестности точки лишь с точностью до малых второго порядка включительно. С указанной точностью поверхность произвольного тела вращения в окрестности этой точки можно считать сферической. Радиус этой сферы равен а расстояние от центра сферы до центра тяжести равно Сказанное позволяет при исследовании движения (3.39) ограничиться рассмотрением тел вращения, имеющих сферическую поверхность. Для того чтобы полученные результаты перенести на случай произвольного тела вращения, надо только в них радиус сферы и расстояние от центра тяжести заменить на выражения через Пусть в возмущенном движении

Первые интегралы (3.24), (3.32) и (3.33) в возмущенном

движении могут быть записаны в виде

Многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно .

Для нахождения достаточных условий устойчивости рассмотрим функцию Ляпунова в виде суммы квадратов интегралов уравнений возмущенного движения [151]:

Функция V будет знакоопределеннои тогда и только тогда когда знак оопреде лента при тех значениях , для которых Разрешив последние равенства относительно получим

В выражении для не выписаны члены выше первого, а в — выше второго порядка относительно .

Заменив в выражении (3.40) для функции величины на их выражения (3.43), получим

Многоточие здесь означает совокупность членов выше второго порядка относительно Функция (3.44) будет зпакоопределенной, если выполняется неравенство

которое и будет достаточным условием устойчивости стационарного движения (3.39) тела, имеющего сферическую поверхность. Согласно сказанному выше, это условие для произвольного тела вращения имеет вид

где индексом обозначены значения функции и ее второй производной при

Покажем теперь, что при обратном знаке неравенства (3.45) движение (3.39) неустойчиво по Ляпунову. Для установления

неустойчивости достаточно показать ее хотя бы на некотором из совместных уровней первых интегралов (3.40) — (3.42) уравнений возмущенного движения. Рассмотрим движения, удовлетворяющие условиям Тогда возмущения х2 будут связалы с возмущением равенствами (3.43). Опираясь на эти равенства, линеаризуем первое из уравнении системы (3.22). С учетом (3.23) оно может быть записано в виде

Отсюда основании теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [101] следует, что при обратном знаке в неравенстве (3.45) стационарное вращение (3.39) неустойчиво.

Таким образом, неравенство (3.40) является необходимым (с точностью до знака равенства) и достаточным условием устойчивости движения (3.39) произвольного тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.