6. Реакция плоскости.

Рассмотрим нормальную реакцию и силу трения возникающие в точке касания эллипсоида и плоскости. Нахождение этих величин — необходимая составная часть решения задачи о движении твердого тела по неподвижной или подвижной поверхности. Условие того, что в каждый момент времени движущееся тело и поверхность имеют одну общую точку, является неудерживающей связью, и в моменты времени, когда значение нормальной реакции поверхности проходит через нуль, тело может освободиться от этой связи. В изучаемой нами задаче эллипсоид может подскочить над плоскостью, и полученные в предположении касания эллипсоида и плоскости движения теряют смысл.

Далее, силу трения надо вычислять потому, что, полученная в предположении отсутствия скольжения, она может оказаться настолько большой, что не может быть развита в точке касания тела поверхности при заданном коэффициенте трения. Это означает, что будет проскальзывание, и результаты, полученные в предположении его отсутствия, теряют реальное механическое содержание.

Реакцию плоскости найдем при помощи теоремы об изменении количества движения:

где — ускорение центра тяжести эллипсоида. Умножив обе части уравнения (8.47) скалярно на получим

Опираясь на (1.4), (8.31), (8.43) -(8.45), найдем отсюда, что

Затем из (8.47) уже можно вычислить силу трения. Она будет величиной первого порядка малости относительно е.

Из (8.48) видно, что для заданного при достаточно малой величине нормальная реакция мало отличается от веса эллипсоида, так что подскакивания эллипсоида над плоскостью не будет. Необходимая же для удержания эллипсоида от проскальзывания сила трения может быть достигнута и при малых коэффициентах трения.

При заданных величинах полуосей эллипсоида величина со угловой скорости эллипсоида не должна быть большой, так как согласно (8.48) при значительных величинах со (порядка нормальная реакция может обратиться в пуль.

Отметим еще, что для найденных периодических движений эллипсоида скорость его центра тяжести равна

В первом приближении по проекция угловой скорости о на ось угол между этой осью и вертикалью, скорость центра тяжести, нормальная реакция плоскости достигают своих экстремальных значений одновременно (при ). В эти же моменты времени траектория точкп касания М на эллипсоиде и плоскости проходит через экстремальные значения.