ГЛАВА 3. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО НЕПОДВИЖНОЙ АБСОЛЮТНО ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Уравнения движения

В этой главе рассмотрена задача о движении твердого тэла но неподвижной поверхности в предположении об отсутствии скольжения. Поверхность тела предполагается выпуклой. В большинстве рассмотренных задач считается, что в точке соприкосновения тела и опорной поверхности существует единственная касательная плоскость. Рассматривается также движение тела, имеющего острый край (ребро), одной из точек которого тело при движении касается неподвижной опорной поверхности.

Как и в случае абсолютно гладкой опорной плоскости, задача о движении твердого тела по абсолютно шероховатой поверхности состоит в определении положения тела в пространстве и реакции опорной поверхности в зависимости от времена. Целесообразно также нахождение следа точки касания на теле на опорной поверхности.

1. Общая схема решения задачи о движении без скольжения тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости.

Отнесем движение тела к неподвпжпой системе координат с началом в некоторой точке О опорной плоскости; ось этой спстемы координат направим вертикально вверх. Пусть — единичный вектор нормали к поверхности тела, построенной в точке М касания тела и плоскости (рис. 6). Оси жестко связанной с телом системы координат направим по главпым центральным осям инерции тела. Пусть А, В, С — моменты инерции тела относительно осей — масса тела. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат зададим при помощи углов Эйлера. Пусть уравнение поверхности, ограничивающей тело, записано в виде и

Следуя [94, 156], введем двенадцать неизвестных функций времени три компоненты вектора скорости центра тяжести тела в подвижной системе координат три угла Эйлера (или вообще какие-либо другие три параметра, определяющие ориентацию тела относительно неподвижной системы координат ); три компоненты радиуса-вектора точки

соприкосновения тела и плоскости; три компоненты реакции плоскости

Пусть — мгновенная угловая скорость тола, — скорость его центра тяжестп, К — кинетический момент тела относительно центра тяжести, — ускорение свободного падения.

Составим следующие двенадцать уравнений: шесть (скалярных) уравнений, выражающих теоремы об пзменепип количества движения и кинетического момента:

где момент реакции плоскости относительно цептра тяжестп; три (скалярных) уравнения — условие отсутствия скольжения

уравнение поверхности, ограничивающей тело:

два скалярных уравнения относительно , к которым в силу очевидного геометрического тождества сводится векторное уравнение Пуассона

показывающее, что вектор определяет неизменное направление в неподвижной системе координат

Если решение системы уравнений (1.2) — (1.6) найдено, то для завершения решения задачи о движении твердого теча по плоскости остается только найти углы Эйлера и уравнение следа точки касания на плоскости. Это можно сделать, опираясь на кинематические уравнения Эйлера и соотиошепия (1.4), (1.15) гл. 2.

Из (1.2) и (1.4) найдем выражение для реакции плоскости

Подставив выражение (1.7) для в формулу для момента получим замкнутую систему уравнений (1.3), (1.6), не содержащую реакцию плоскости. В скалярной форме уравнения (1.3) и (1.6) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений относительно проекций вектора на оси и координат ; точки касания тела и плоскости, через которые из (1.1) и (1.5) выражаются компоненты вектора входящего в уравнения (1.6). В силу (1.5) из шести упомянутых уравнений независимыми будут только пять. Иссчедоваиие системы (1.3). (1.6) — основпая и наиболее трудная часть решения задачи о движении без скольжения тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости. Соотношение (1.7) может служить для определения реакции плоскости. При этом следует помнпть, что получаемых решений смысл имеют

только те, для которых выполняются условия (2.4) гл. 1 физической осуществимости качения тела по поверхности.

Отметим, что уравнения (1.2) -(1.6) имеют интеграл где Т — кинетическая, потенциальная энергия тела.