5. О стремлении эллипсоида вращаться вокруг наибольшей оси.

В [149] описан опыт, который проводил Томсон с эллипсоидальным камнем. Движение быстро закрученного на шероховатой плоскости камня эволюционировало так, что последний имел тенденцию вращаться вокруг наибольшей своей оси, которая стремилась занять вертикальное положение, если только вращение камня было достаточно быстрым.

Рассмотрим вопрос о стремлении эллипсоида вращаться вокруг его наибольшей, вертикально расположенной оси. Сначала при помощи интегралов (5.36) усредненных уравнений движения получим некоторые качественные выводы об эволюции движения эллипсоида, не обязательно быстро закрученного, а для самого общего случая его движения. Если угловая скорость со уменьшается, то в силу неизменности величины проекции вектора со на вертикаль он стремится занять вертикальное положение. Далее из первого из интегралов (5.36) следует, что при уменьшении со величина должна увеличиваться. Учитывая геметричеекпй смысл переменной приходим к выводу о том. что при умепьшении со эллипсоид стремится подняться на его наибольшую, вертикально расположенную ось. При увеличении со имеет место обратное: вектор со и наибольшая ось эллипсоида имеют тенденцию к возрастанию их отклонений от вертикали.

Для получения количественных выводов об эволюции движения эллипсоида недостаточно анализа следствии, вытекающих из интегралов (5.36). Следует использовать сами усредненные уравнения движения. Пусть при Тогда в начальный момент времени величина отрицательна, а величина мала. Будем считать, что не нияе первого

рядка по е. Тогда из (5.29) имеем в первом приближении уравнение

которое вместе с уравнением (5.34) образует замкнутую систему уравнений. Обозначая индексом 0 начальные значения переменных, получаем общее решение этой системы:

С ростом величина уменьшается, а величина растет, изменяясь от своего отрицательного значения сего. Она остается отрицательной до момента времени

Из геометрических соображений следует, что с погрешностью порядка Поэтому приближенно

При малых из (5.31) получаем, что в первом приближении, как и в случае шара на плоскости с сухим трением (см. § 1), скорость точки касания равна

В момент времени скорость и обращается в нуль и начинается движение без скольжения. Так как то отсюда следует, что на всем интервале времени угловая скорость уменьшается и подъем эллипсоида на его наибольшую ось происходит вплоть до начала движения без скольжения.

Оценим величину времени, необходимого для переворота эллипсоида с наименьшей полуоси а на его наибольшую полуось с. Это значит, что за время должен измениться на величину Из (5,36) имеем Если здесь положить получим, пренебрегая членами порядка и выше,

Подставив это значение о в левую часть первого из равенств (5.45), найдем

Отброшенные в правой части этого равенства слагаемые по крайней мере на один порядок меньше оставленных. Чтобы

переворот мог произойти до начала движения без скольжения, необходимо потребовать выполнения неравенства откуда с учетом приближенных соотношений следует, что должно выполняться неравенство

Таким образом, для осуществления переворота эллипсоида с наименьшей полуоси на наибольшую необходимо потребовать, чтобы в начальный момент времени угол между наименьшей полуосью и вектором не был слишком острым; в противном случае время необходимое для переворота эллипсоида, будет больше значения времени при котором начинается движение без скольжения. Качественно этот вывод можно усмотреть непосредственно из (5.34) и (5.36): чем меньше тем меньше , согласно (5.34), тем медленнее уменьшается и, следовательно, согласно (5.36), тем медленнее рост