Главная > Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Движение тела вращения, ограниченного сферической поверхностью.

Пусть динамически симметричное тело имеет сферическую поверхность радиуса центр которой отстоит от центра тяжести тела, лежащего на оси симметрии тела, на расстояние Тогда

и интегрирование первого из уравнений (3.25) сразу приводит к первому интегралу

Этот интеграл есть не что юное, как интеграл Желле [156, 254]: скалярное произведение кинетического момента тела и радиуса-вектора точки касания относительно центра тяжести постоянно во все время движения. Следует отметить, что для существования интеграла Желле ее обязательно отсутствие скольжения; для справедливости (3.32) достаточно, чтобы динамически симметричное тело, движущееся на неподвижной горизонтальной плоскости, удовлетворяло двум требованиям: 1) центр тяжести тела лежит та оси симметрии; 2) участок поверхности тела, точки которого при движении тела приходят в соприкосновение с плоскостью, является частью сферы, центр которой лежит также на оси симметрии тела. Подробности см. в гл. 4 (п. 3 § 2).

Второе из уравнении (3.25) приводится при помощи первого уравнения и равенств (3.31) к виду

Заменив «здесь величины их значениями! из (3.31), получим уравнение с разделяющимися переменными. Интегрирование этого уравнения дает еще один первый интеграл [202]:

Обозначив постоянную пптеграла энергии (3.24) через — перепишем его в виде

Умножив это равенство на и учтя (3.23), получим

где введено обозначение , а функция К определена равенством

Опираясь на соотношения (3.31) и интегралы (3.32), (3.33), ее можно привести к виду

Замечая еще, что приходим к выводу, что нахождение зависимости и от времени из дифференциального

уравнения (3.34) приводится к обращению абелева интеграла. В чаетшых случаях, когда хотя бы одна из произвольных постоянных а или равна иулю или когда распределение масс теле таково, что (выражение под знаком корня в (3.36) есть полный квадрат, т. е. выполнено условие

вадача об отыскании функции приводит к эллиптическим функциям.

Если то во все время движения Движение шара происходит так, что его ось симметрии находится в фиксированной вертикальной плоскости. Изменение угла составляемого осью с вертикалью, со временем определяется уравнением (3.34). в котором надо положить

Будем считать для определенности, что Шар может находиться в положениях равновесия, отвечающих значениям или причем первое равновесие устойчиво, а второе неустойчиво относительно возмущений величин : при центр тяжести занимает наинизшее, а при — наивысшее положение.

При движение шара невозможно: ось симметрии совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с амплитудой, не превосходящей при этом следом точки касания на плоскости будет отрезок прямой. При угол неограниченно возрастает, и шар катится вдоль бесконечной прямой на плоскости. Если то шар либо занимает неустойчивое положешт равновесия либо совершает асимптотическое движение, при котором угол стремится к при возрастании времени, т. е. шар стремится занять такое иоложени, при котором его центр занимает наивысшее положение: следом шара на плоскости будет опять отрезок прямой.

Шар может совершать стационарные движения, в которых ось симметрии составляет постоянный угол с вертикалью. Такие движения будут рассмотрены в для произвольного тела вращения.

Исследуем характер движения шара в общем случае. Для этого заметим, что в действительном движении выполняются неравенства — и правая часть уравнения (3.34) должна быть неотрицательной. Представим ее в виде

При функция К, определенная равенством (3.35), положительна. Поэтому в действительном движении

Замечая еще, что при достаточно больших положительных значениях и функция отрицательна, достаточно больших по модулю отрицательных и она положительна, получаем, что возможны два типа графиков функции представленных на рис. 32. График правой часта уравнения (3.34) получится из приведенных на рис. 32 графиков уменьшением ординаты кривой в каждой точке и на соответствующую величину К.

Рис. 32

Деформированная кривая должна по условию задачи иметь точки над осью абсцисс и, следовательно, будет пересекать отрезок не менее двух раз, причем справа от точки В ее ординаты отрицательны; в общем случае абсциссы точек пересечения лежат внутри интервала но одпа из них может равняться +1 или —1, если у функции есть такой корень; несложно непосредственной подстановкой соответствующих величин и в функцию (3.36) проверить, что функция имеет корень или если между произвольными постоянными выполняется соответственно соотношение

или

Равенства (3.37) и (3.38) несовместимы одно с другим.

Рассматривая общий случай, будем считать, что правая часть уравнения (3.34) имеет два простых корня - которые лежат внутри интервала — Тогда функция и будет периодической функцией времени, колеблющейся: (между значениями которых Следовательно, и угол 6 будет периодической функцией времени некоторым периодом такими же будут функции как это видпо из (3.31)- (3.33) и (3.23), (3.27); величины же получают некоторые постоянные приращения за время, равное периоду .

На поверхности шара точка касания М вычерчивает кривую, ваключенную между параллелями эта кривая поочередно прикасается к указанным параллелям и состоит из периодически повторяющихся «волн. На неподвижной плоскости точка М описывает кривую подобного же типа, расположенную в общем случае между двумя концентрическими окружностями, которых точка М поочередно касается при движении шара.

1
Оглавление
email@scask.ru