3. Движение тела вращения, ограниченного сферической поверхностью.
Пусть динамически симметричное тело имеет сферическую поверхность радиуса
центр которой отстоит от центра тяжести тела, лежащего на оси симметрии тела, на расстояние
Тогда
и интегрирование первого из уравнений (3.25) сразу приводит к первому интегралу
Этот интеграл есть не что юное, как интеграл Желле [156, 254]: скалярное произведение кинетического момента тела и радиуса-вектора точки касания относительно центра тяжести постоянно во все время движения. Следует отметить, что для существования интеграла Желле ее обязательно отсутствие скольжения; для справедливости (3.32) достаточно, чтобы динамически симметричное тело, движущееся на неподвижной горизонтальной плоскости, удовлетворяло двум требованиям: 1) центр тяжести тела лежит та оси симметрии; 2) участок поверхности тела, точки которого при движении тела приходят в соприкосновение с плоскостью, является частью сферы, центр которой лежит также на оси симметрии тела. Подробности см. в гл. 4 (п. 3 § 2).
Второе из уравнении (3.25) приводится при помощи первого уравнения и равенств (3.31) к виду
Заменив «здесь величины
их значениями! из (3.31), получим уравнение с разделяющимися переменными. Интегрирование этого уравнения дает еще один первый интеграл [202]:
Обозначив постоянную пптеграла энергии (3.24) через —
перепишем его в виде
Умножив это равенство на
и учтя (3.23), получим
где введено обозначение
, а функция К определена равенством
Опираясь на соотношения (3.31) и интегралы (3.32), (3.33), ее можно привести к виду
Замечая еще, что
приходим к выводу, что нахождение зависимости и от времени из дифференциального
уравнения (3.34) приводится к обращению абелева интеграла. В чаетшых случаях, когда хотя бы одна из произвольных постоянных а или
равна иулю или когда распределение масс
теле таково, что (выражение под знаком корня в (3.36) есть полный квадрат, т. е. выполнено условие
вадача об отыскании функции
приводит к эллиптическим функциям.
Если
то во все время движения
Движение шара происходит так, что его ось симметрии
находится в фиксированной вертикальной плоскости. Изменение угла
составляемого осью с вертикалью, со временем определяется уравнением (3.34). в котором надо положить
Будем считать для определенности, что
Шар может находиться в положениях равновесия, отвечающих значениям
или
причем первое равновесие устойчиво, а второе неустойчиво относительно возмущений величин
: при
центр тяжести занимает наинизшее, а при
— наивысшее положение.
При
движение шара невозможно:
ось симметрии совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с амплитудой, не превосходящей
при этом следом точки касания на плоскости будет отрезок прямой. При
угол
неограниченно возрастает, и шар катится вдоль бесконечной прямой на плоскости. Если
то шар либо занимает неустойчивое положешт равновесия
либо совершает асимптотическое движение, при котором угол
стремится к
при возрастании времени, т. е. шар стремится занять такое иоложени, при котором его центр занимает наивысшее положение: следом шара на плоскости будет опять отрезок прямой.
Шар может совершать стационарные движения, в которых ось симметрии составляет постоянный угол
с вертикалью. Такие движения будут рассмотрены в
для произвольного тела вращения.
Исследуем характер движения шара в общем случае. Для этого заметим, что в действительном движении выполняются неравенства —
и правая часть уравнения (3.34) должна быть неотрицательной. Представим ее в виде
При
функция К, определенная равенством (3.35), положительна. Поэтому в действительном движении
Замечая еще, что при достаточно больших положительных значениях и функция
отрицательна,
достаточно больших по модулю отрицательных и она положительна, получаем, что возможны два типа графиков функции
представленных на рис. 32. График правой часта уравнения (3.34) получится из приведенных на рис. 32 графиков уменьшением ординаты кривой в каждой точке и на соответствующую величину К.
Рис. 32
Деформированная кривая должна по условию задачи иметь точки над осью абсцисс и, следовательно, будет пересекать отрезок
не менее двух раз, причем справа от точки В ее ординаты отрицательны; в общем случае абсциссы точек пересечения лежат внутри интервала
но одпа из них может равняться +1 или —1, если у функции
есть такой корень; несложно непосредственной подстановкой соответствующих величин и в функцию (3.36) проверить, что функция
имеет корень
или
если между произвольными постоянными
выполняется соответственно соотношение
или
Равенства (3.37) и (3.38) несовместимы одно с другим.
Рассматривая общий случай, будем считать, что правая часть уравнения (3.34) имеет два простых корня
- которые лежат внутри интервала —
Тогда функция и будет периодической функцией времени, колеблющейся: (между значениями
которых
Следовательно, и угол 6 будет периодической функцией времени
некоторым периодом
такими же будут функции
как это видпо из (3.31)- (3.33) и (3.23), (3.27); величины же
получают некоторые постоянные приращения за время, равное периоду
.
На поверхности шара точка касания М вычерчивает кривую, ваключенную между параллелями
эта кривая поочередно прикасается к указанным параллелям и состоит из периодически повторяющихся «волн. На неподвижной плоскости точка М описывает кривую подобного же типа, расположенную в общем случае между двумя концентрическими окружностями, которых точка М поочередно касается при движении шара.