3. Движение тела вращения, ограниченного сферической поверхностью.

Пусть динамически симметричное тело имеет сферическую поверхность радиуса центр которой отстоит от центра тяжести тела, лежащего на оси симметрии тела, на расстояние Тогда

и интегрирование первого из уравнений (3.25) сразу приводит к первому интегралу

Этот интеграл есть не что юное, как интеграл Желле [156, 254]: скалярное произведение кинетического момента тела и радиуса-вектора точки касания относительно центра тяжести постоянно во все время движения. Следует отметить, что для существования интеграла Желле ее обязательно отсутствие скольжения; для справедливости (3.32) достаточно, чтобы динамически симметричное тело, движущееся на неподвижной горизонтальной плоскости, удовлетворяло двум требованиям: 1) центр тяжести тела лежит та оси симметрии; 2) участок поверхности тела, точки которого при движении тела приходят в соприкосновение с плоскостью, является частью сферы, центр которой лежит также на оси симметрии тела. Подробности см. в гл. 4 (п. 3 § 2).

Второе из уравнении (3.25) приводится при помощи первого уравнения и равенств (3.31) к виду

Заменив «здесь величины их значениями! из (3.31), получим уравнение с разделяющимися переменными. Интегрирование этого уравнения дает еще один первый интеграл [202]:

Обозначив постоянную пптеграла энергии (3.24) через — перепишем его в виде

Умножив это равенство на и учтя (3.23), получим

где введено обозначение , а функция К определена равенством

Опираясь на соотношения (3.31) и интегралы (3.32), (3.33), ее можно привести к виду

Замечая еще, что приходим к выводу, что нахождение зависимости и от времени из дифференциального

уравнения (3.34) приводится к обращению абелева интеграла. В чаетшых случаях, когда хотя бы одна из произвольных постоянных а или равна иулю или когда распределение масс теле таково, что (выражение под знаком корня в (3.36) есть полный квадрат, т. е. выполнено условие

вадача об отыскании функции приводит к эллиптическим функциям.

Если то во все время движения Движение шара происходит так, что его ось симметрии находится в фиксированной вертикальной плоскости. Изменение угла составляемого осью с вертикалью, со временем определяется уравнением (3.34). в котором надо положить

Будем считать для определенности, что Шар может находиться в положениях равновесия, отвечающих значениям или причем первое равновесие устойчиво, а второе неустойчиво относительно возмущений величин : при центр тяжести занимает наинизшее, а при — наивысшее положение.

При движение шара невозможно: ось симметрии совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с амплитудой, не превосходящей при этом следом точки касания на плоскости будет отрезок прямой. При угол неограниченно возрастает, и шар катится вдоль бесконечной прямой на плоскости. Если то шар либо занимает неустойчивое положешт равновесия либо совершает асимптотическое движение, при котором угол стремится к при возрастании времени, т. е. шар стремится занять такое иоложени, при котором его центр занимает наивысшее положение: следом шара на плоскости будет опять отрезок прямой.

Шар может совершать стационарные движения, в которых ось симметрии составляет постоянный угол с вертикалью. Такие движения будут рассмотрены в для произвольного тела вращения.

Исследуем характер движения шара в общем случае. Для этого заметим, что в действительном движении выполняются неравенства — и правая часть уравнения (3.34) должна быть неотрицательной. Представим ее в виде

При функция К, определенная равенством (3.35), положительна. Поэтому в действительном движении

Замечая еще, что при достаточно больших положительных значениях и функция отрицательна, достаточно больших по модулю отрицательных и она положительна, получаем, что возможны два типа графиков функции представленных на рис. 32. График правой часта уравнения (3.34) получится из приведенных на рис. 32 графиков уменьшением ординаты кривой в каждой точке и на соответствующую величину К.

Рис. 32

Деформированная кривая должна по условию задачи иметь точки над осью абсцисс и, следовательно, будет пересекать отрезок не менее двух раз, причем справа от точки В ее ординаты отрицательны; в общем случае абсциссы точек пересечения лежат внутри интервала но одпа из них может равняться +1 или —1, если у функции есть такой корень; несложно непосредственной подстановкой соответствующих величин и в функцию (3.36) проверить, что функция имеет корень или если между произвольными постоянными выполняется соответственно соотношение

или

Равенства (3.37) и (3.38) несовместимы одно с другим.

Рассматривая общий случай, будем считать, что правая часть уравнения (3.34) имеет два простых корня - которые лежат внутри интервала — Тогда функция и будет периодической функцией времени, колеблющейся: (между значениями которых Следовательно, и угол 6 будет периодической функцией времени некоторым периодом такими же будут функции как это видпо из (3.31)- (3.33) и (3.23), (3.27); величины же получают некоторые постоянные приращения за время, равное периоду .

На поверхности шара точка касания М вычерчивает кривую, ваключенную между параллелями эта кривая поочередно прикасается к указанным параллелям и состоит из периодически повторяющихся «волн. На неподвижной плоскости точка М описывает кривую подобного же типа, расположенную в общем случае между двумя концентрическими окружностями, которых точка М поочередно касается при движении шара.