Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Устойчивость перманентных вращений.Рассмотрим теперь, следуя [67, 70], вопрос об устойчивости найденных стационарных движений тела — перманентных вращений вокруг вертикали. Нам потребуется теорема Ляпунова — Малкина об устойчивости движения в особенном случае критического случая нескольких нулевых корней. Приведем ее формулировку [101]. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
где
т. е. функции Коэффициенты
где Уравнения (5.6) допускают частное решение
определяющее семейство движений, зависящее от к произвольных постоянных Теорема Ляпунова — Малкина. Если уравнения возмущенного движения имеют вид (5.6), то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущепному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из движений семейства (5.7). Теми же свойствами обладают все движения семейства (5.7), если только численные значения параметров Переходя к исследованию устойчивости перманентных вращений (5.1) твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости, рассмотрим характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения [67, 70]:
где (см. скан) Здесь
где Систему уравнений возмущенного движения можно [70] привести к пяти уравнениям первого порядка, имеющим структуру уравнений (5.6), к которым применима теорема Ляпунова — Малкина. Уравпение (5.8) всегда имеет один нулевой корень. Если при этом хотя бы один его корень имеет положительную вещественную часть, то имеет место неустойчивость движения (5.1). Если же все корни уравнения
имеют отрицательные вещественпые частп, то движение (5.1) устойчиво, прпчем асимптотически, относительно переменных Все корни уравнения (5.11) имеют отрицательные вещественные части тогда
Если хотя бы одно из этих неравенств выполняется с обратным знаком, то уравнение (5.11) имеет корень с положительной вещественной частью. Таким образом, условия (5.12) являются необходимыми (с точностью до знака равенства) и достаточными для устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Из (5.2) и (5.9) видно, что коэффициенты Поэтому последние два условия в (5.12) налагают ограничения только на геометрию масс Эта зависимость, а также возможность существования асимптотической устойчивости по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил существенно отличает задачу об устойчивости перманентных вращений тела на абсолютно шероховатой плоскости от аналогичной задачи в случае абсолютно гладкой плоскости, рассмотренной в гл. 2. В последнем случае условия устойчивости Если
т. е. положение равновесия тела на абсолютно шероховатой плоскости устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью. Если хотя бы одно из неравенств (5.13) выполняется с обратным знаком, то рассматриваемое положение равновесия тела неустойчиво согласно теореме Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа [98]. Таким образом, условия устойчивости положения равновесия тела на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях одинаковы: они задаются неравенствами (5.13). А условия устойчивости перманентных вращений, как мы видели выше и увидим еще в следующем параграфе, отличаются и качественно, и количественно.
|
1 |
Оглавление
|