2. Устойчивость перманентных вращений.

Рассмотрим теперь, следуя [67, 70], вопрос об устойчивости найденных стационарных движений тела — перманентных вращений вокруг вертикали. Нам потребуется теорема Ляпунова — Малкина об устойчивости движения в особенном случае критического случая нескольких нулевых корней. Приведем ее формулировку [101].

Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

где — ограниченные функции при всех разлагающиеся в сходящиеся в некоторой не зависящей от окрестности начала координат ряды, начинающиеся с членов не ниже второго порядка относительно При этом

т. е. функции обращаются в нуль равенстве нулю одних лишь переменных

Коэффициенты в (5.6) постоянны и таковы, что характеристическое уравнение линеаризованной системы (5.6)

где — характеристический многочлен матрицы, образованной элементами имеет корней с отрицательными вещественными частями.

Уравнения (5.6) допускают частное решение

определяющее семейство движений, зависящее от к произвольных постоянных и содержащее исследуемое невозмущенное движение.

Теорема Ляпунова — Малкина. Если уравнения возмущенного движения имеют вид (5.6), то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущепному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из движений семейства (5.7). Теми же свойствами обладают все движения семейства

(5.7), если только численные значения параметров достаточно малы.

Переходя к исследованию устойчивости перманентных вращений (5.1) твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости, рассмотрим характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения [67, 70]:

где

(см. скан)

Здесь осевые и центробежные моменты инерции тела по отношению к осям системы координат с началом в точке касания тела с опорной плоскостью, направления осей координат которой совпадают с направлениями линий кривизны поверхности тела в точке причем оси отвечает радиус кривизны а оси радиус кривизны в соответствии с формулами (3.8) гл. 1 имеем

где - угол между осями отсчитываемый от оси к оси -высота центра тяжести над опорной плоскостью; верхний нулевой индекс указывает, что соответствующая функция переменных 0 и вычисляется при

Систему уравнений возмущенного движения можно [70] привести к пяти уравнениям первого порядка, имеющим структуру уравнений (5.6), к которым применима теорема Ляпунова — Малкина.

Уравпение (5.8) всегда имеет один нулевой корень. Если при этом хотя бы один его корень имеет положительную вещественную часть, то имеет место неустойчивость движения (5.1). Если же все корни уравнения

имеют отрицательные вещественпые частп, то движение (5.1) устойчиво, прпчем асимптотически, относительно переменных где характеризуют отклонения от значений на многообразии (5.2) перманентпых вращений.

Все корни уравнения (5.11) имеют отрицательные вещественные части тогда только тогда, когда выполнены условия [101]

Если хотя бы одно из этих неравенств выполняется с обратным знаком, то уравнение (5.11) имеет корень с положительной вещественной частью.

Таким образом, условия (5.12) являются необходимыми (с точностью до знака равенства) и достаточными для устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.

Из (5.2) и (5.9) видно, что коэффициенты уравнения (-четные, а — нечетные функции .

Поэтому последние два условия в (5.12) налагают ограничения только на геометрию масс поверхности тела и на величину его угловой скорости, а первые два в общем случае — и на знак угловой скорости. Отсюда следует, что при прочих равных условиях устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, вообще, зависит от направления вращения: устойчивое вращение тела в одном направлении становится неустойчивым при изменении направления вращения на противоположное.

Эта зависимость, а также возможность существования асимптотической устойчивости по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил существенно отличает задачу об устойчивости перманентных вращений тела на абсолютно шероховатой плоскости от аналогичной задачи в случае абсолютно гладкой плоскости, рассмотренной в гл. 2. В последнем случае условия устойчивости зависят от направления вращения тела, а при отсутствии активных внешних диссипативных сил асимптотическая устойчивость невозможна.

Если то, как уже отмечалось в решение (5.1) отвечает положению равновесия тела. Для исследования его устойчивости воспользуемся [161] теоремой Ляпунова об устойчивости, приняв в качестве функции Ляпунова V полную механическую энергию тела . В силу того что Т — определенно-положительная функция от то, согласно теореме Ляпунова, достаточным условием устойчивости равновесия тела по отношению к возмущениям величин будет условие положительной определенности потенциальной энергии в окрестности положения Как показано в § 4 гл. 2, это условие записывается в виде неравенств

т. е. положение равновесия тела на абсолютно шероховатой плоскости устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью. Если хотя бы одно из неравенств (5.13) выполняется с обратным знаком, то рассматриваемое положение равновесия тела неустойчиво согласно теореме Ляпунова об обращении теоремы Лагранжа [98].

Таким образом, условия устойчивости положения равновесия тела на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях одинаковы: они задаются неравенствами (5.13). А условия устойчивости перманентных вращений, как мы видели выше и увидим еще в следующем параграфе, отличаются и качественно, и количественно.