5. Регулярные прецессии.

Из уравнений (3.22), (3.23) видно, что тяжелое тело вращения может совершать стационарные движения, при «которых угол составляемый осью симметрии тела с вертикалью, остается постоянным [69—71, 125, 156]: . Случай изучен в предыдущем пункте, поэтому в дальнейшем считаем, что .

Уравнения (3.22), (3.23) допускают частное решение

если постоянные (удовлетворяют уравнению [125]

Рассматривая это уравнение как квадратное относительно и требуя вещественность его корней, получаем условие существования решения (3.47) в виде неравенства [125]

Для решепия (3.47) угловая скорость собственного вращения и угловая скорость прецессии тела постоянны и связаны с постоянными равенствами

Из (3.27) и (3.30) получаем, что в движении (3.47) координаты х, у точки касания тела плоскости в неподвижной системе координат определяются дифференциальными уравнениями

Отсюда следует, что

где — иостояпные. Эти соотношения показывают, что при точка М касания тела и неподвижной плоскости описывает та псследпеи окружность радиуса Используя рис. 31, теперь несложно показать, что центр окружности лежит на вертикали, проходящей через неподвижную в пространстве точку оси симметрии тела, координаты которой в подвижной системе координат задаются равенствами [69—71]

Здесь через обозначено расстояние от точки И до точки пересечения оси симметрии тела с вертикалью, проходящей через М.

Отметим, что точка является точкой пересечения оси симметрии тела с мгновенной осью [вращения, проходящей в силу отсутствия скольжения через точку Например, для тяжелого неоднородного динамически симметричного шара из (3.31) и (3.51) имеем

т. е. пеиодвнжпая в пространстве точка оси симметрии находится на расстоянии от его геометрического центра (при ) в положительном, а при в отрицательном направлении оси .

Таким образом, при решению (3.47) отвечает регулярная прецессия тела: одна из точек его о он симметрии (точка с координатами неподвижна в пространстве, тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикали, проходящей (через и с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии. Центр масс тела описывает окружность с угловой скоростью в плоскости параллельной опорной неподвижной горизонтальной плоскости центр этой окружности лежит на вертикали, проходящей через точку а радиус равен Точка касания М тела и опорной плоскости описывает на поверхности тела окружность с угловой скоростью в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, с центром на этой оси в точке с координатой и радиусом При этом тело движется без скольжения.

Введя в (3.48) вместо их выражения через из (3.50), получим, что уравнение, определяющее многообразие регулярных прецессий тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости, принимает такую форму:

Рассматривая это уравнение как квадратное относительно выписывая (условие вещественности его корней, получаем следующее неравенство, эквивалентное условию (3.49) существования регулярных прецессий:

Сравнение соотношений (3.52), (3.53) с соотношениями (2.30), (2.31) гл. 2 показывает, что двумерные многообразия регулярпых прецессий тела вращения на абсолютно (гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях те совпадают. Это сразу видно из того, что соотношения (2.30) и (2.31) гл. 2 получаются из соотношений (3.52) и (3.53) при , а величина при регулярной прецессии есть высота центра тяжести над опорной плоскостью и, следовательно, положительна.

Рассмотрим устойчивость движения (3.47). Задача об устойчивости регулярных прецессий тела вращения на абсолютно шероховатой нлоскости изугчеиа в работах [69—71, 125]. В этих работах получены необходимые достаточные условия устойчивости. При этом необходимые условия получены обычным способом, основапным на выяснении условий отсутствия у характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений возмущенного движения корней с положительной вещественной частью. Для получения достаточных условий устойчивости работе [125] построена функция Ляпунова в виде суммы квадратов первых интегралов уравнений возмущенного движения: интеграла энергии и двух интегралов, линейных относительно компонент угловой скорости тела, причем выяснение условий знакоопределенности функции Ляпунова не потребовало явного (вычисления линейных интегралов. Такой подход к задачам устойчивости был обобщен и развит в работах [69—71], где указан способ применения теоремы Рауса—Ляпунова [77] к исследованию устойчивости стационарных движений механических систем некоторого вида, явные выражения первых интегралов которых, кроме интегралов энергии, неизвестны. В качестве примера в [69—71] получены достаточные условия устойчивости регулярных прецессий (3.47).

Разрешая линейные уравнения (3.25) относительно производных, получаем

Здесь

Пусть частных решения уравнений (3.54), удовлетворяющие условиям Тогда общее решение уравнений (3.54) запишется в форме

Разрешив эти уравнения относительно постоянных получим два интеграла:

Кроме того, имеем еще интеграл энергии (3.24).

Пусть

На невозмущенном движении а значение константы интеграла (3.24) обозначим через Уравнения возмущенного движения будут иметь первые интегралы а — соответствующие левые части равенств (3.55). Следуя статье [125], при исследовании устойчивости в качестве функции Ляпунова примем функцию

Функция V будет определенно положительной тогда только тогда, когда функция определенно положительна при условии Если из последних равенств выразить величины через подставить эти величины в функцию то в результате получим функцию двух переменных Условие знакоопределенности функции и будет достаточным условием устойчивости движения (3.47).

При практическом нахождении функции знание явного вида интегралов (3.55) не является обязательным, так как при получении первых (линейных и квадратичных) членов разложения в ряд по степеням потребуются величины а они равны правым частям уравнений (3.54). Имеем

В (3.56) производные вычисляются на невозмущенном движении, многоточием обозначены [члены вьгше второго порядка относительно

Из (3.24) видно, что (на невозмущенном движении (3.47)

Далее имеем в силу уравнений (3.54)

где через обозначено следующее выражение:

Из (3.58) с учетом равенства (3.48) следует, что на невозмущенном движении (3.47) производная равна нулю. Производная же не возмущенном движении будет равна взятой с обратным знаком производной вычисленной в силу уравнений (3.54). Учитывая (3.57), получаем из (3.56) условие знакоопределенности функции в виде неравенства . Произведя указанное выше дифференцирование, получим это неравенство в развернутом виде:

Через обозначены производные функции по 0. Все входящие в левую часть неравенства (3.59) функции 0 вычисляются при Напомним, что величины связаны равенством (3.48).

Неравенство (3.59) является достаточным условием устойчивости регулярной прецессии (3.47) тяжелого тела вращении на абсолютно шероховатой плоскости. Аналогично тому, как это сделано в п. 4 при исследовании устойчивости стационарного вращения вокруг вертикали, можно показать [125], что с точностью до знака равенства условие (3.59) будет и необходимым для устойчивоста движения (3.47).

В работах [69—71] достаточное условие устойчивости получено в другой форме:

Через здесь обозначена величина радиуса кривизны меридианного сечения поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью; смысл остальных величин в (3.60) разъяснен выше. Если (неравенство (3.60) [выполнено с обратным знаком. то имеет место неустойчивость [69—71].

Отметим, что условие (3.60) устойчивости регулярных прецессий тела гвращеиня на абсолютно шероховатой плоскости переходит в условие (2.34) гл. 2 устойчивости регулярных прецессий на абсолютно гладкой плоскости, если в (3.60) отбросить все члены, кроме тех, которые заключены в первые фигурные скобки.

Рассмотрим иодробпее случай, когда угловая скорость прецессии юг равна нулю. Из (3.52), (3.53) следует, что при регулярные прецессии абсолютно шероховатой плоскости существуют, если только , т. е. когда центр тяжести тела находится на вертикали, проходящей через точку М касания гела с опорной плоскостью, причем угловая скорость собственного вращения может быть произвольной. В этом случае частное решение уравнений (3.22), (3.23)

определяет равномерное качение тела вдоль неподвижной прямой; если же еще то решение (3.61) отвечает равновесию тела.

Для решения (3.61) условие устойчивости (3.59) принимает вид

Из (3.18) получаем, что на невозмущенном движении (3.61)

Учитывая еще равенство получаем, что на невозмущенном движении

Поэтому достаточное (и необходимое с точностью до знака равенства) условие устойчивости движения (3.61) записывается в виде неравенства [69—71, 123, 125]

Если когда центр тяжести тела лежит не выше центра кривизны меридианного сечения поверхности тела, проведенного через точку его касания с опорной плоскостью, качение тела вдоль неподвижной прямой устойчиво при любой (не

равной пулю) угловой скорости в случае равновесия, когда условие устойчивости (3.62) переходит в неравенство Если же то равновесие неустойчиво, а качение будет устойчивым, когда превосходит некоторую критическую величину, определяемую неравенством (3.62).

Отметим, что условие (3.62) прямолинейного качения тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости качественно совпадает с соответствующим условием устойчивости (2.36) гл. 2. Но количественно эти условия различны; наличие неголоиомных связей оказывает, как правило, стабилизирующее влияние: необходимая для устойчивости угловая скорость тела определяемая из условия (3.62), обычно меньше величины определяемой из неравенства (2.36) гл. 2 [70, 77], хотя возможны и исключения [70].