3. Дифференциальные уравнения задачи о движении диска по гладкому горизонтальному льду.

Пусть тяжелый диск массы и радиуса а движется по горизонтальной поверхности

гладкого льда, касаясь ее одной точек своего острого края. Для описания движения введем неподвижную систему координат с началом в некоторой точке О опорпой плоскости и вертикально направленной осью (рис. 33) и систему координат с началом в центре тяжестп диска; ось горизонтальна, ось перпендикулярна плоскости острого края, а ось проходит через точку М диска, которой он касается льда. Моменты инерции диска относительно осей обозначим через А и С. Пусть — какая-либо фиксированная точка на окружности диска. В силу динамической симметрии диска, ось как и оси будет главной центральной осью инерции. Ориентацию диска относительно неподвижного пространства зададим при помощи углов Эйлера На рис. 33 линия узлов является касательной к окружности края диска и, следовательно, параллельна оси угол собственного вращения есть угол между прямой, проходящей через и линией узлов; через на рис. 33 обозначена проекция центра тяжести диска на плоскость льда.

Рис. 33

Обозначим через проекции векторов скорости центра тяжести диска и его угловой скорости о на соответствующие оси системы координат При движении по гладкому льду на диск наложена кинематическая связь: вектор скорости точки М диска, которой он касается льда, должен быть параллелен ораьз пом у диаметру окружности диска. Проектируя обе части векторного равенства

на оси получаем уравнения связи в впде

Пусть М — геометрическая точка, которая принадлежит следу, вычерчиваемому точкой касания М диска со льдом; при своем движении диск соприкасается точками М, лежащими на его окружности, с соответствующими точками следа. Скорость точки М в неподвижной системе координат обозначим через По теореме о сложении скоростей

где — скорость точки М относительно диска, а — переносная скорость точки т. е. скорость той точки М диска относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М следа. Если — единичные

векторы осей то очевидно, что

а для (4.32) получаем

Согласпо (4.33) — (4.35), имеем

т. е. абсолютная скорость точки направлена по линпн узлов. Опираясь та кинематические уравнения (4.3)

последнее равенство можно записать в виде

Пусть — координаты точки М в неподвижной системе координат Из (4.37) и рис. 33 тогда получаем, что след точки касания на льду определяется дифференциальными уравнениями

Для получения динамических уравнений, описывающих движение диска, воспользуемся теоремами об изменении количества движения и кинетического момента. При применении теоремы об изменении кинетического момента за иолюс примем точку Обозначая символом операцию дифференцирования по времени во вращающейся с угловой скоростью системе координат получаем

Здесь — реакция льда, — вектор ускорения свободного падения, — кинетический момент диска относительно полюса Реакция ортогональна линии узлов так как связи, наложенные на диск при его движении гладкому льду, исключают возможность «подрезания» льда, не препятствуя вращению дпска вокруг оси симметрии. Вычисления показывают, что векторы и в системе координат имеют такие компоненты:

Проектирование уравнения (4.39) на ось уравнения (4.40)

на оси дает с учетом равенств (4.32) следующие четыре скалярные уравнения:

Если к этим уравнениям добавить первое из кинематических равенств то получим замкнутую систему пятн дифференциальных уравнений первого порядка относительно пяти неизвестных функций времени Если эти функции найдены, то углы Эйлера найдутся из второго и третьего равенств (4.36) посредством двух квадратур. Затем — опять же при помощи двух квадратур — уравнений (4.38) можно найти траекторию следа точки касания на поверхности льда и закон движения точки М по пей. Реакция льда определится из двух равенств, получающихся проектированием векторного уравнения (4.39) на оси .

При движении полная механическая энергия диска остается постоянной, т. е. пмеет место интеграл

Из третьего уравнения системы (4.41) сразу следует, что проекция угловой скорости диска на его ось симметрии также постоянна во все время движения:

Можно непосредственной проверкой убедиться в том, что уравнения (4.41) имеют еще один интеграл

который означает, что проекция кинетического момента диска относительно его центра тяжести на вертикаль постоянна.

Используя равенство перейдем в четвертом из уравнений (4.41) к новой независимой переменной 0 и заменим в нем величину на ее значение, получаемое из (4.44). В результате придем к дифференциальному уравнению

интегрируя которое, получаем

Существование интегралов (4.43) — (4.45) установлено в статье [81]. В этой же статье дан качественный анализ

движения диска при произвольных начальных условиях; этот анализ приведен в п. 5.