2. Эволюция движения шара на плоскости с вязким трением.

Рассмотрим эволюцию движения тяжелого шара Чаплыгина на плоскости с вязким трением. Для этого воспользуемся результатами § 3.

Согласно теореме § 3 предельным множеством траекторий тела на плоскости с вязким трением является множество движений без скольжения этого тела по абсолютно гладкой плоскости. Движение шара Чаплыгина на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости складывается из прямолинейного и равномерного движения центра тяжести шара и движения Эйлера — Пуансо

относительно центра тяжести. Среди всех движений шара выделим такие, для которых скорость точки шара, которой он касается плоскости, равна нулю: Из (6.2) в силу постоянства величин х, у следует, что этими движениями могут быть только движения с постоянным вектором угловой скорости . Отсюда на основании геометрической интерпретации Пуансо и теоремы § 3 получаем, что предельное множество есть множество вращений вокруг главных центральных осей инерции тела (это также сразу следует из классификации возможных типов финальных движений, приведенной в § 3).

Шар будет асимптотически стремиться к этому движению, не достигая его.

Если направить ось вдоль оси вращения шара в его финальном движении, а соответствующий ей момент инерции обозначить через , то для параметров финального движения — углы Эйлера) из условий отсутствия скольжения и первых интегралов (6.4) получим систему пяти уравнений:

Отсюда параметры финального движения можно однозначно выразить через значения констант первых интегралов . Исключение составляет только случай отвечающий положению равновесия шара — любые).

Рис. 45

Таким образом, в пространстве переменных предельное множество состоит из трех точек (рис. 45), определяемых по значениям констант первых интегралов . Теорема § 3 не указывает только, к какой из трех возможных величин стремится к , т. е. вокруг какой из осей будет происходить предельное вращение шара.

Пусть трение мало, т. е. к — малый параметр. Тогда в невозмущенной задаче центр шара движется равномерно и прямолинейно, вектор кинетического момента К постоянен, а шар совершает движение Эйлера — Пуансо вокруг К Согласно геометрпческон интерпретации Пуансо (см. § 6 гл. 1), величина а равна квадрату расстояния от центра шара до плоскости (Пуансо), касательной к центральному

эллипсоиду инерции и перпендикулярной К. Вращениям шара вокруг большей, меньшей и средней осей эллипсоида инерции отвечают значения

Возмущенное движение (при малых отличных от нуля ) будем исследовать методом усреднения. Рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда частоты движения Эйлера — Пуансо несоизмеримы; ниже мы покажем, что это предположение в рассматриваемой задаче об эволюции движения шара несущественно. Усредняя правые части уравнений (6.8) по условно-периодическому невозмущенному движению Эйлера — Пуансо [134, 207], получаем такую усредненную систему уравнений первого приближения для медленных переменных [133, 134]:

Здесь новая безразмерная независимая переменная, функция определяется равенствами

где

Здесь — полные эллиптические интегралы первого и второго рода, — их модуль.

Кратко перечислим [134] свойства функции необходимые для качественного исследования уравнений (6.10). Функция определена на отрезке , если ее доопределить в точках по непрерывности; всюду, за исключением точек а, b, с, где она обращается в нуль. Разложения функции вблизи точек имеют соответственно такой вид:

Из этих разложений видно, что интегралы — малая

величина)

расходятся, а интеграл

сходится.

На основании иеречпелеппых свойств функции и с учетом того, что

из последнего уравнения системы (6.10) можно сделать следующий вывод: если в начальный момент времени то с течением времени а уменьшается и асимптотически стремится к а; если же , то будет уменьшаться и достигнет за конечное время. Таким образом, решения усредненной системы выходят на сепаратрису невозмущенного движения и переходят через нее. Но вблизи сепаратрисы метод усреднения в обычной форме неприменим.

Проблеме прохождения через сепаратрису посвящены работы [139, 140], в которых показано, что движение описывается усредненными уравнениями вплоть до выхода на сепаратрису. О дальнейшем поведении динамической системы можно говорить только с определенной вероятностью. Мера множества начальных данных, для которых движение после пересечения сепаратрисы нельзя описать при помощи усредненной системы уравнепий, мала вместе с возмущением.

Таким образом, в рассматриваемой задаче эволюция движения для большинства начальных данных описывается решениями усредненной системы, «склеенными» из решений в разных областях, т. е. из решений в области и в области Все решения усредненной системы, получаемые «склеиванием», стремятся при к равновесию на плоскости (рис. 45), т. е. шар стремится к вращению вокруг оси наибольшего из главных центральных моментов инерции.

К зтому движению и стремится большинство траекторий точной (а не усредненной) системы при Исключение составят только те траектории, начинающиеся в области которые имеют своим предельным множеством вращение вокруг оси среднего по величине момента инерции (т. е. точку на рис. 45).

Так как то из первых двух уравнений системы (6.10) следует, что при

Из интегралов (6.4) полунаем теперь, что при

Далее, так как финальное движение шара — это вращение вокруг оси наибольшего момента инерции то при имеем т. е. согласно (6.12) и (6.4)

Такпм образом, финальное движение шара для любых начальных данных из области и для большинства начальных данных из области таково, что его центр тяжести движется равномерно и прямолинейно, а сам шар вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси наибольшего момента инерции, при этом скорость скольжения стремится к нулю.

Кроме того, получаем такое следствие (см. п. 1 § 3): качение шара Чаплыгина, при котором он вращается вокруг оси наибольшего момента инерции, на плоскости с малым вязким трением устойчиво по отношению к переменным , причем асимптотически по переменной о, характеризующей отклонение от многообразия вращения шара вокруг оси наибольшего момента инерции; вращение же вокруг оси наименьшего и среднего по величине момента инерции неустойчиво.

Если частоты невозмущенного движения Эйлера — Пуансо соизмеримы, т. е. имеет место резонанс, то предыдущий анализ эволюции должен быть, вообще говоря, иным. Дело в том, что область (рис. 45), задаваемая неравенствами содержит счетное множество резонансных поверхностей. Траектории движения в процессе эволюции достигают резонансных поверхностей; в принципе возможно застревание на резонансе. Однако в рассматриваемой задаче такого застревания не будет [134]. Это следует из результатов § 3: предельным множеством в области могут быть только три точки: , и финальные движения шара суть только его вращения вокруг главных центральных осей инерции.