4. Об устойчивости эволюции движения волчка в силу точных уравнений движения.

Для исследования устойчивости движения (4.18) сделаем в уравнениях (4.16) замену переменных

Получим

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по безразмерной переменной и введены обозначения

Через обозначены функции, разложения которых в ряды начинаются с членов не ниже второго порядка относительно Для дальнейшего существенно, что если только равны нулю переменные т. е. ряды для

не содержат членов, зависящих только от Через в (4.20) обозначены функции не ниже первого порядка малости относительно е. Они представляют собой некоторые линейные комбипации входящих в (4.16) функций выраженных через новые переменные и не обязательно равны пулю при Поэтому решение задачи об устойчивости движения (4.18) в силу уравнений движения (4.16) требует рассмотрения устойчивости при постоянно действующих возмущениях

Положим в рассмотрим сначала устойчивость линеаризованной системы. Третье уравнение из (4.20) дает нулевой корень характеристического уравнения. Остальные пять уравнений не содержат и имеют переменные коэффициенты, которые при стремятся к некоторым конечным пределам. Этим уравнениям соответствует характеристическое уравнение

Отмечая звездочкой предельные зпачения величин (4.21) при и применяя критерий Рауса — Гурвица, получаем, что вещественные части всех корпей уравнения (4.22) при будут отрицательными тогда и только тогда, когда . Первое из этих неравенств выполняется всегда, а второе — когда одновременно и предельное значение отлично от Оставляя открытым вопрос об устойчивости движения (4.18) в случае соответствующем рассмотрим устойчивость при когда предельное (при положение симметрии волчка является вертикальным или

Если то для всех достаточпо больших при некотором положительном а выполняются неравенства где — корни уравнения (4.22). Поэтому, согласно [150], существует определенно-положительная квадратичная форма V переменных производная которой V в силу линеаризованных уравнений (4.20) будет определенно-отрицательной функцией тех же переменных. Следовательно, линеаризованная система асимптотически устойчива относительно

Так как разложения функций , не содержат членов, зависящих только от то V будет также определенно-отрицательной и в силу нелинейной системы (4.20) (при Таким образом, если пренебречь постоянно действующими возмущениями то движение (4.18) асимптотически устойчиво относительно относительно возмущений скорости центра тяжести волчка, ориентации его вектора кинетического момента К и угла между осью симметрии волчка и вектором К.

Покажем теперь, что при достаточно малых движение (4.18) устойчиво относительно всех переменных Чтобы показать устойчивость относительно

достаточно заметить, что производные ограничены и, следовательно, применима теорема Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [101]. Устойчивость относительно т. е. относительно возмущений модуля вектора кинетического момента, следует теперь из интеграла (4.11).

Совершенно аналогично можно доказать устойчивость рассмотренной в эволюции угла нутации (выражающейся в стремлении оси наибольшего из моментов иперции совпасть с направлением вектора кинетического момента) при произвольном движении волчка, а не только в случае движения (4.18).