5. Регулярные прецессии произвольного тела вращения.

Тяжелое твердое теле» на горизонтальной плоскости с вязким трением представляет собой голономную механическую систему с пятью степенями свободы, находящуюся под действием потенциальных и диссипативных сил. Положение тела будем задавать двумя координатами х, у его центра тяжести в неподвижной системе координат с направленной вертикально вверх осью и началом в произвольной точке О опорной плоскости и тремя углами Эйлера которые вводятся обычным образом и задают ориентацию жестко связанной с твердым телом системы координат образованной главными центральными осями инерции, относительно системы координат Считаем, что центр тяжести тела лежит на оси его динамической симметрии которая является также и осью симметрии поверхности тела.

Функция Лагранжа задается равенством (2.15) гл. 2:

где — ускорение свободного падения, — масса тела, — его моменты инерции относительно осей и соответственно, расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости, являющееся при заданной форме поверхности тела функцией только угла через обозначена производная функции по .

Координаты точки касания М тела и плоскости в системе координат задаются формулами (2.5) гл. 2:

причем

где - расстояние от точки М до точки пересечения оси симметрии тела с вертикалью, проходящей через М. Величины

выражаются через по формулам (2.9) гл. 2:

Имеет место также такое тождество:

Диссипативные силы зададим при помощи функции Рэлея

где — коэффициент трения, и — вектор скорости точки касания. При помощи формул (1.66), (1.67) гл. 3 и соотношений (2.49), (2.51) получаем такое выражение для функции Рэлея:

где

Уравнения движения тела имеют вид уравнений Лагранжа второго рода

Функция Ф явно зависит от . С целью исследования регулярных прецессий удобнее ввести псевдокоординаты я», положив [68, 70]

Величины представляют собой соответственно проекции скорости центра тяжести на линию узлов и на перпендикулярную ей горизонтальную ось. Уравнения движения тела в псевдокоординатах запишем в форме уравнений Эйлера — Лагранжа (см. п. 6 § 7 гл. 1). Функции после исключения из них величин х, у при помощи соотношений (2.55) обозначим через . Они будут зависеть от . Функция получается заменой суммы на сумму а функция Ф имеет вид

Вычисления показывают, что для трехиндексных символов Больцмана имеем выражения: остальные символы равны нулю. Уравнения Эёлера — Лагранжа имеют вид

Уравнения (2.56) имеют частные решения вида

где постоянные удовлетворяют системе уравнений

Рассмотрим сначала два частных случая. В первом из них Тогда (см. (2.49), (2.58)) при имеет место вращение тела вокруг его неподвижной вертикальной оси симметрии; при тело покоится. Это движение исследовано в предыдущем пункте. Во втором частном случае Тогда центр тяжести тела лежит на вертикали, проходящей через точку его касания с опорной плоскостью; при этом согласно уравнениям (2.58):

т. е. у системы уравнений (2.56) существует однопараметрическое семейство решений вида

где — произвольная постоянная. Это семейство определяет качение тела вдоль неподвижной прямой с постоянной скоростью; при тело находится в равновесии.

Рассмотрим теперь общий случай, когда выполняются неравенства

Тогда из системы (2.58) следует, что а три постоянные удовлетворяют двум уравнениям:

Соответствующее однопараметрпческое семейство решений уравнений движения (2.56)

определяет регулярную прецессию тела вращения на плоскости с вязким трением. При этом центр тяжести тела неподвижен, а тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести; точка касания с угловой скоростью описывает на опорной горизонтальной плоскости окружность радиуса центром которой является проекция центра тяжести на плоскость; на поверхности тела точка касания описывает с угловой скоростью со 1 окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела, с центром в точке оси симметрии с координатой и радиусом . В силу (2.62) при регулярной прецессии скольжение тела по плоскости отсутствует.

Из (2.61) и (2.62) с учетом равенств (2.51) имеем соотношения

позволяющие заданному углу однозначно определить угловые скорости прецессии и собственного вращения. Кроме того, требование положительности правой части второго из равенств (2.64) с учетом равенств (2.50), (2.51) приводит к следующему условию существования регулярной прецессии тела вращения на горизонтальной плоскости с вязким трением, ось симметрии которого составляет угол с вертикалью:

В § 2 гл. 2 и § 3 гл. 3 установлено, что на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскости регулярные прецессип образуют двумерные многообразия. В случае же плоскости с вязким трением многообразие регулярных прецессий, как мы видим, является одномерным. Имеет место следующее замечательное свойство семейств регулярных прецессий, установленное А. В. Карапетяном [68, 70]: одномерное многообразие регулярных прецессий тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости с вязким трением лежит на пересечении (не пустом при выполнении условия соответствующих двумерных многообразий для случаев абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостей.

В самом деле, на гладкой плоскости три постоянные удовлетворяют одному уравнению (2.30) гл. 2, которое совпадает с уравнением (2.61); в случае регулярных прецессий и на гладкой плоскости, и на плоскости с вязким трением центр тяжести неподвижен, но в случае гладкой плоскости тело, совершая регулярную прецессию, может скользить по опорной плоскости. В

случае абсолютно шероховатой плоскости постоянные удовлетворяют одному уравнению (3.52) гл. 3, которое отличается от уравнения (2.61) тем, что его правая часть не нуль, а выражение которое с учетом первого из равенств (2.49) (напомним, что при вычислении нужно угол Ф положить равным запишется в виде

На абсолютно шероховатой плоскости тело движется без скольжения, но на регулярной прецессии неподвижен не центр тяжести, как в случае абсолютно гладкой плоскости и плоскости с вязким трением, а точка оси симметрии с координатой определяемой из формул (3.51) гл. 3. Опираясь на равенства (2.49) — (2.51), выражение для можно представить в виде

Сопоставляя (2.62), (2.66) и (2.67) и замечая, что величина по своему смыслу всегда отлична от нуля, получаем, что многообразие регулярных прецессий на плоскости с вязким трением лежит на пересечении соответствующих многообразий для случаев абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостей [68, 70].

В [68, 70] получены необходимые и достаточные условия устойчивости рассматриваемых регулярных прецессий по отношению к возмущениям переменных . Характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения имеет [70] вид Здесь

где

Здесь — радиус кривизны меридианного сечепня поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью; правые части выражений для коэффициентов вычисляются при

Если выполняются неравенства

то все корни многочлена (2.68) имеют отрицательные вещественные части и регулярная прецессия тела вращения на плоскости с вязким трением устойчива, причем (в отличие от случаев гладкой абсолютно шероховатой плоскости) асимптотически по части переменных, характеризующих отклонение возмущенного движения от многообразия регулярных прецессий. Это означает, что при выполнении условий (2.69) скорость центра тяжести асимптотически стремится к нулю, а значения угла и величин асимптотически стремятся к значениям, удовлетворяющим системе уравнений (2.61), (2.62) (а не к невозмущенным). При строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (2.69) имеет место неустойчивость [68, 70].