§ 6. Движение тела с острым краем

До сих пор мы рассматривали движение твердого тела, имеющего выпуклую поверхность. Для такого тела в точке его касания с опорной горизонтальной плоскостью можно провести единственную касательную плоскость (совпадающую с опорной плоскостью). В этом параграфе рассмотрим тело, поверхность которого имеет острый край. Будем предполагать, что: 1) острый край тела представляет собой выпуклую плоскую кривую;

2) центр тяжести тела и две его главные центральные оси инерции лежат в плоскости этой кривой; 3) при движении тело касается опорной плоскости одной точкой лежащей на остром крае.

Рис. 18

1. Существование стационарных движений. Пусть — система координат, жестко связанная с твердым телом; ее оси направлены по главным центральным осям инерции тела. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат имеющей начало в точке О, принадлежащей опорной горизонтальной плоскости, и вертикальную ось будем задавать при помощи углов Эйлера (рис. 18). Обозначим через расстояние от центра тяжестп тела до касательной к его острому краю в точке М соирпкосповення тела и опорной плоскости. Если форма кривой — острого края — задапа, то — известная функция угла

Расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости вычисляется по формуле

Очевидно, что, как и в случае тела, ограниченного выпуклой поверхностью без заострений и ребер, в рассматриваемой задаче о движении тела с острым краем координаты х, у центра тяжести и угол прецессии будут циклическими координатами. Игнорируя циклические координаты, приходим к приведенной системе с двумя степенями свободы, описывающей изменение позиционных координат — углов Приведенный потенциал может быть вычислен по формуле (1.37) с учетом (6.1):

Здесь — постоянные, а — момент инерции тела относительно вертикали, проходящей через центр тяжестп; он вычисляется по одной из формул (1.30):

Изменение переменных со временем описывается дифференциальными уравнениями (1.38), в которых функция Рауса вычисляется по формулам (1.34) — (1.36) и (6.2).

Твердое тело может совершать стационарные движения

где — произвольные постоянные, а удовлетворяют уравнениям

Для движения (6.3) тело вращается с угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести тела, который движется с постоянной скоростью вдоль неподвижной прямой, параллельной опорной плоскости Если центр тяжести покоится, то точка М касания тела с опорной плоскостью описывает на ней окружпость, центром которой является проекция центра тяжести тела на эту плоскость, а радиус может быть вычислен по формуле

Здесь штрих означает дифференцирование по а индекс 0 указывает на то, что соответствующая величина должна быть вычислена при Если же скорость центра тяжести 0, то точка касания М описывает на опорной плоскости трохонду которая при будет соответственно укороченной циклоидой, циклоидой и удлиненной циклоидой; при трохоида вырождается в прямую.

При заданной величине стационарные значения углов определяются из первых двух уравнений системы (6.4). При известных угловая скорость равна

Исключив из рассмотрения особые зпаченпя угла нутации вО (для них тело должно «упасть» на опорную плоскость опираться на нее более чем одной точкой), получаем, что система из двух первых уравнений (6.4) распадается на две независимые системы

и

Возможны стационарные движения двух типов. Движение первого типа удовлетворяют системе (6.6). Для них плоскость острого края тела перпендикулярна опорной плоскости Положение точки касания М на остром крае зависит от величины и инерциоипых параметров тела и определяется из второго уравнения системы (6.6). Зпачеиие может быть любым, если форма кривой — острого края — такова, что

Стационарные движения второго типа удовлетворяют системе (6.7). Так как то из первого уравнения системы (6.7) следует, что эти движеппя не существуют, если тело представляет собой пластинку Если же твердое тело будет пластинкой, то и система (6.7) может быть совместной. Поделив второе ее уравнение на первое, получим, что она может иметь решения, если угол удовлетворяет уравнению

Если значение найдено, то можно затем определить из любого уравнения системы (6.7). Отметим, что угол может быть произвольным, если

Устойчивость обоих типов стационарных движений может быть исследована аналогично п. 2 § 4, где рассматривались стационарные движения тела, поверхность которого не имеет ребер и заострений. Некоторые частные случаи стационарных движений тела с острым краем подробно исследованы в статье [200].